П ирамида

С лово пирамида – латинская форма греческого слова «пюрамис», так греки называли египетские пирамиды; происходит от древнеегипетского слова «пурама» (так пирамиды называли древние египтяне). Современные египтяне называют пирамиды словом «хирам», которое тоже происходит от этого древнеегипетского слова. Треугольная пирамида имеет еще одно название ТЕТРАЭДР, т.е. четырехгранник (тетра – четыре, эдр – грань).

1. Как из треугольников получить пирамиду?

1. Дан тетраэдр, грани, которого окрашены в синий, красный, зеленый и белый цвета. Тетраэдр начинают перекатывать, как это показано на рисунке, причем он оставляет след такого же цвета, что и грань, касающаяся бумаги. Если тетраэдр сначала стоял на красной грани, то какого цвета будет последний треугольник следа, оставленного тетраэдром?

2. Тетраэдр, перекатываясь с грани на грань, возвращается в исходное положение. Если сначала нижняя грань была красной, то какой она будет по возвращении? Зависит ли результат от пути?

Флексагон.

Пирамида – жесткое геометрическое тело, т.е. его нельзя изменить не сломав. Этим свойством «жесткости» обладают все известные многогранники. Лишь совсем недавно американский геометр Коннели сумел построить «хитрый» многогранник, который этим свойством не обладает, а может изменять свою форму так, что каждая его грань остается неизменной. Это очень сложный многогранник. Некоторое представление о нем дает рисунок.

С уществует интересная геометрическая игрушка, которая состоит из треугольников и меняется, «выворачиваясь наизнанку». Эта игрушка ФЛЕКСАГОН (to flex – англ. означает «складываться, гнуться», т.е. флексагон – «гнущийся многоугольник») Флексагон обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет. Для изготовления флексагона надо сделать развертку из 10 правильных треугольников.

П ерегните полоску по сторонам треугольника и сложите, как показано на рисунке. Оставшиеся треугольники подогните вниз, склейте друг с другом неокрашенные треугольники, и флексагон готов. Одна сторона у него красная, другая синяя. Превратим его в зеленый флексагон. Для этого сначала надо поставить его на стол так, чтобы он опирался на три нижние точки. Эти вершины слегка отгибаем вниз. Затем осторожно соединяем их, флексагон вывернется наизнанку. Если верхние точки флексагона развести в стороны, то он будет готов к новому превращению.

Треугольник – плоская фигура, он изображается без искажений. Рисунок же пространственной фигуры может таить в себе подвох, как изображение невозможного куба.

Н евозможные треугольники.

1934 году Оскар Реутерсвард (Oscar Reutersvard) создал первый невозможный треугольник, составленный из серии кубиков. Хотя многие жудожники создавали невозможные фигуры, именно Реутерсвард открыл новый мир фантазий. С тех пор Реутерсвард создал тысячи н евозможных фигур. Сегодня он известен как "отец невозможных фигур". В 1980 году Шведское правительство решило разместить невозможный треугольник Реутерсварда на почтовых марках, которые выпускались с 1982 года примерно два года.

В 1954 году Роджер Пенроуз (Roger Penrose) после лекции голландского графика М. К. Эшера открыл заново невозможный треугольник и нарисовал его в более привычной форме. В отличие от треугольника Реутерсварда, треугольник Пенроуза нарисован с использованием линейной (а не параллельной, как у Реутерсварда) перспективы, что придает ему больше невозможности. Он опубликовал свой треугольник в 1958 году в Британском журнале психологии в соавторстве со своим отцом Лайонелом Пенроузом (Lionel Penrose). Слудет учесть, что Роджер Пенроуз не был знаком с работами Реутерсварда, Пиранеси (Piranesi) и др

Закройте одну из вершин этого «треугольника», и станет ясно, что одна из его сторон направлена к нам, а другая – от нас, т.е. не укладывается на плоскости. Придумайте и нарисуйте свой «невозможный» объект.