46. Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.

Представим инерциальную систему координат которую будем считать неподвижной (см.рис) А q f w.Относительно нее движется система координат

O x y z,связанная  с неким телом.Рассмотрим движение материальной точки М массой m,на которую действует сила F.Для несвободной материальной точки нужно задать активную силу F и реакцию связи R.Движение этой материальной точки относительно неподвижной системы координат есть абсолютным,а относительно подвижной системы координат-относительным.Характер переносного движения устанавливается движением подвижной системы координат относительно неподвижной.

Уравнение движения несвободной материальной точки имеет вид

mwa=F+R 

Абсолютное ускорение точки определим по теореме Кореолиса

wa=we+wr+wc

Подставим выражение wa в предидущую формулу,тогда

mwe+mwr+mwc=F+R

Поскольку нас интересует уравнение относительного движения,то

mwr=F+(-mwe)+(-mwc)+R.(1.1)

Векторы

Фe=-mwe , Фc=-mwc               (1.2)

называют относительно переносной и кориолисовой силами инерции.

Если обозначения (1.1) использовать в уравнении (1.2),то оно приобретет привычную форму основного уравнения динамики (второго закона Ньютона)

mwr=F+R+Фe+Фc .                   (1.3.)

Из уравнения (1.3) видно,что для составления диференциального уравнения движения материальной точки в неинерциальной системе координат в форме второго закона Ньютона необходимо к активным силам и реакциям связей,которые действуют на точку,добавить переносную и кориолисовую силы инерции.

Уравнение (1.3) называют основным уравнением динамики относительного движения материальной точки

48. Эквивале́нтность ма́ссы и эне́ргии — физическая концепция теории относительности, согласно которой полная энергия физического объекта (физической системы, тела) равна его (её) массе, умноженной на размерный множитель квадрата скорости света в вакууме:

 где   — энергия объекта,   — его масса,   — скорость света в вакууме, равная 299 792 458 м/с.

В зависимости от того, что понимается под терминами «масса» и «энергия», данная концепция может быть интерпретирована двояко:

• с одной стороны, концепция означает, что масса тела (инвариантная масса, называемая также массой покоя)^[1] равна (с точностью до постоянного множителя c²)^[2] энергии, «заключённой в нём», то есть его энергии, измеренной или вычисленной в сопутствующей системе отсчёта (системе отсчёта покоя), так называемой энергии покоя, или в широком смысле внутренней энергии этого тела^[3],

 где   — энергия покоя тела,   — его масса покоя;

• с другой стороны, можно утверждать, что любому виду энергии (не обязательно внутренней) физического объекта (не обязательно тела) соответствует некая масса; например, для любого движущегося объекта было введено понятие релятивистской массы, равной (с точностью до множителя c²) полной энергии этого объекта (включая кинетическую)^[4],

 где   — полная энергия объекта,   — его релятивистская масса.

Первая интерпретация не является лишь частным случаем второй. Хотя энергия покоя является частным случаем энергии, а  практически равна   в случае нулевой или малой скорости движения тела, но   имеет выходящее за рамки второй интерпретации физическое содержание: эта величина является скалярным (то есть выражаемым одним числом) инвариантным(неизменным при смене системы отсчёта) множителем в определении 4-вектора энергии-импульса, аналогичным ньютоновской массе и являющимся её прямым обобщением^[5], и к тому же   является модулем 4-импульса. Дополнительно, именно   (а не  ) является единственным скаляром, который не только характеризует инертные свойства тела при малых скоростях, но и через который эти свойства могут быть достаточно просто записаны для любой скорости движения тела^[6].

И таким образом,   — инвариантная масса — физическая величина, имеющая самостоятельное и во многом более фундаментальное значение^[7].

В современной теоретической физике концепцию эквивалентности массы и энергии обычно используется в первом смысле^[8]. Главной причиной, почему приписывание массы любому виду энергии считается чисто терминологически неудачным и поэтому практически вышло из употребления в стандартной научной терминологии, является следующая из этого полная синонимичность понятий массы и энергии. Кроме того, неаккуратное использование такого подхода может запутывать^[9] и в конечном итоге оказывается неоправданным. Таким образом, в настоящее время термин «релятивистская масса» в профессиональной литературе практически не встречается, а когда говорится о массе, имеется в виду инвариантная масса. В то же время термин «релятивистская масса» используется для качественных рассуждений в прикладных вопросах, а также в образовательном процессе и в научно-популярной литературе. Этот термин подчёркивает увеличение инертных свойств движущегося тела вместе с его энергией, что само по себе вполне содержательно^[10].

В наиболее универсальной форме принцип был сформулирован впервые Альбертом Эйнштейном в 1905 году, однако представления о связи энергии и инертных свойств тела развивались и в более ранних работах других исследователей.

В современной культуре формула   является едва ли не самой известной из всех физических формул, что обуславливается её связью с устрашающей мощью атомного оружия. Кроме того, именно эта формула является символом теории относительности и широко используется популяризаторами науки^[11].

49.        Динамика- раздел теоретической механики, изучающий движение материальных объектов с учетом сил, вызывающих это движение. В динамике изучаются механические движения материальных объектов под действием сил.  Простейшим материальным объектом является материальная точка.

Материальная точка это модель материального тела любой формы, размерами которого можно пренебречь и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. Более сложные материальные объекты – механические системы и твердые тела, состоят из набора материальных точек.

Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов.

Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

Две основные задачи динамики:

1.по заданному движению точки определить силы, вызывающие это движение.

2. по заданным силам определить движение точки.

В динамике рассматриваются различные модели материальных объектов. Простейшая модель - материальная точка (тело, формами и размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи).

Более сложные материальные объекты – система материальных точек и твердое тело.

 

Аксиомы классической механики

Первая аксиома или закон инерции.   Существуют инерциальные системы отсчета, относительно которых материальная точка, не испытывающая действия или находящаяся под действием уравновешенной системы сил, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Вторая  аксиома. Ускорение точки прямо пропорционально силе и направленно в сторону этой силы.

Масса- мера инертности точки.

Третья аксиома.  Всякому действию есть противодействие, равное по величине и противоположное по направлению.

Четвертая аксиома. Закон независимости действия сил.

         Если к точке приложена система сил, то ускорение точки равно векторной сумме ускорений, получаемых от каждой силы в отдельности.

  Аксиомы классической механики хорошо согласуются с результатами опытов.

 

Две основные задачи динамики.

Первая задача динамики.

По заданному движению точки определить силу.

- уравнения движения точки

 

Решается методом дифференцирования.

Вторая задача динамики.

Решение второй задачи динамики составляет основное содержание всех разделов динамики.

По заданным силам определить движение точки. Задача решается методом интегрирования.

Если сила зависит только от t или только от x или V, то можно пользоваться следующими указаниями:

1) составить диф.уравнение движения точки:

     а) начало координат совмещать с началом движения точки (или с её равновесным положением);

     б) если движение по прямой, то одну из осей направить в сторону движения точки;

     в) точку изобразить с приложенными силами в произвольном положении;

     г) составить диф.уравнение в проекции на ось.

2) интегрирование диф.уравнения.

     Замена переменных.

если

если

Диф.уравнение решать методом разделения переменных(кроме задач на колебания).

3) интегралы брать неопределёнными, учитывая постоянные интегрирования, найденные из начальных условий.

4) анализ движения точки.

 

Диф.уравнения движения материальной точки.

При плоском движении точки:

Если тело движется прямолинейно, то 

 В проекциях на естественные оси координат:

 

 

 

 

, где S- закон движения точки по траектории.

 

 

50. Масса, центр масс системы материальных точек и твердого тела.

Массой системы материальных точек является сумма масс всех точек, входящих в систему:

(1)

Для твердого тела, точки которого заполняют объем тела непрерывным образом, дискретная сумма в (1) переходит в интеграл по массе всего тела:

(2)

Массу точки тела можно выразить через ее вес как m_i = p_i / g, откуда следует, что для определения массы твердого тела можно использовать формулы для определения веса тела, используемые в статике, заменяя в них удельный вес на плотность - массу единицы объема, площади или длины. Очевидно, что при этом интегралы по массе переходят в тройные, двойные и даже обычные интегралы.

Центром масс или центром инерции системы материальных точек называется геометрическая точка C, радиус-вектор которой определяется выражением

(3)

где r_i - радиус-векторы точек системы. Спроектировав это равенство на координатные оси, получим формулы для определения координат центра тяжести системы материальных точек:

(4)

где x_i, y_i, z_i - координаты точек системы.

Если ось проходит через центр масс, она называется центральной. Если центр масс находится в начале системы координат, все ее оси являются центральными, а r_C = 0. Поэтому в центральных осях координат суммы в выражении (4) равны нулю. Эти суммы называют статическими моментами инерции и выражают так:

(5)

Для твердого тела дискретные суммы в выражениях (3) и (4) после предельного перехода можно выразить как интегралы по массе всего тела:

(6)

При движении системы материальных точек и твердого тела радиус-векторы и координаты их центров масс будут непрерывно меняться, так как радиусы-векторы и координаты точек системы и тела из-за движения изменяются.

Исключение составляет случай, когда положение центра масс определяется относительно жестко связанной с телом системой координат, которая, естественно, будет подвижной. В этом случае радиус-вектор и координаты центра масс постоянны при любых движениях твердого тела, так как центр масс не меняет своего положения в твердом теле. Но произведение m_ig равно весуp_i материальной точки твердого тела, и центр тяжести твердого тела не изменяет своего положения в теле при любых движениях твердого тела у поверхности Земли. То есть положение центра масс твердого тела, определяемое по формулам (3) - (5) относительно связанной с телом подвижной системой координат, совпадает с положением центра тяжести твердого тела. Поэтому при определении положения центра масс в твердом теле можно использовать все приемы и методы нахождения центра тяжести, рассмотренные в статике, в частности, методы интегрирования, симметрии, разбиения и т.д.