14. Смешанное произведение векторов. Компланарность векторов.

Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.

Обозначение: abc = [ab]c. 

               Свойства смешанного произведения.

1)       Смешанное произведение [ab]c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и скомпланарны, то [ab]c = 0.

Доказательство.

а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ab] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ab] c. Поэтому [ab]c = 0.

в) Если a,b,c не компланарны, [ab]c = |[ab]||c| = S·|c|cosφ, где φ – угол между с и [ab]. Тогда   |c|cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ab]c = V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ab]. Утверждение доказано.

Следствие. [ab]c = a[bc].

Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся : abc.

2)       Если a = {X_a, Y_a, Z_a},  b = {X_b, Y_b, Z_b}, c = {X_c, Y_c, Z_c}, то

abc =  .

Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:[ab]c = (Y_aZ_b – Y_bZ_a)X_c + (X_bZ_a – X_aZ_b)Y_c + (X_aY_b – X_bY_a)Z_c =  .

Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0},   c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный изихкоодинат:

следовательно, векторы компланарны.

 

Пример 2. Найдем объем пирамиды с вершинами в точках А(0, -3, -1), В(3, 3, 2),   

С(1, 0, -3) и D(2, -1, 1).

Отметим, что объем пирамиды ABCD в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD. Найдем координаты этих векторов:

AB = {3,6,3}, AC = {1,3,-2}, AD = {2,2,2}. Тогда AB AC AD =          

Cледовательно, объем пирамиды равен 18:3 =6.         

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

• Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

• Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

15. Плоскость в пространстве. Основные уравнения плоскости.

                          Плоскость в пространстве.

 

   Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = {x - x₀ , y - y_{0 ,} z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

                    A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.                                                 (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

    После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

                    Ax + By + Cz + D = 0,                                                                (8.2)

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

 

                         Неполные уравнения плоскости.

   Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1)       D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2)       А = 0 – n = {0,B,C} Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3)       В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4)       С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5)       А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6)       А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7)       B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8)       А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9)       B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10)    C = D = 0 -  плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11)    A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12)    A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13)    B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

                                                                                                          (8.3)

называемому уравнением плоскости в отрезках. Способ преобразования показан в лекции 7. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

 

16. РАССТОЯНИЕ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ. УСЛОВИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ И ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ.

Угол между плоскостями. Условия параллельности и

перпендикулярности плоскостей.

 

 Если две плоскости (α₁ и α₂) заданы общими уравнениями вида:

  A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0   и   A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n₁={A₁,B₁,C₁) и n₂={A₂,B₂,C₂). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями  α₁ и α₂  равен

                                                                  (8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

                                                                                                         (8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

                    A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.                                                                       (8.6)

 

       Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М₁(х₁, у₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы  М₁М₂={x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁}, М₁М₃={x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁} и М₁М={x - x₁,y - y₁, z - z₁}, где М(x, y, z) – произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

                                                                                  (8.7)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

   Способом, аналогичным изложенному в лекции 7, можно получить нормальное уравнение плоскости:

                                                                                 (8.8)

где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости. При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле:

                    ,                                                       (8.9)

где x₀,y₀,z₀ – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель  знак которого противоположен знаку D.

Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в лекции 7.