4.9. Асимптоти

Асимптоти – це прямі до яких графік наближається але ніколи не перетинає.

Вертикальна асимптота - це вертикальна пряма. На практиці вертикальні асимптоти відшукуються зовсім просто. Це точки нулів знаменника функції

f(x). Її рівняння x = a. Тобто при х прагнуть до a (праворуч або ліворуч), функція прагне до нескінченності (позитивної або негативної) (Рис. 4.9).

Горизонтальна асимптота - це горизонтальна пряма y = а, до якої графік функції необмежено наближається при прагненні х до нескінченності (позитивної чи негативно) (Рис. 4.10).

Похилі асимптоти знаходять трохи складніше. Визначення їх залишається колишнім, але задаються вони рівнянням прямої лінії y = kx + b. Відстань від асимптоти до графіка функції тут складає | MP |. Очевидно, що якщо | MP | прагне до нуля, то до нуля прагне і довжина відрізка | MN |. Точка М - ордината асимптоти, N - функції f(x). Абсциса у них спільна (Рис. 4.11).

Рис. 4.9. Вертикальні асимптоти

Рис. 4.10. Горизонтальна асимптота

Рис. 4.11. Похила асимптота

Дослідження функцій та побудова графіків
1. Загальна схема дослідження функцій

Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:

1) Знайти області визначення і значень даної функції f.

2) З'ясувати, чи має функція особливості, що полегшують дослідження, тобто чи є функція f:

а) парної чи непарною; б) періодичної.

3) Обчислити координати точок перетину графіка з осями координат.

4) Знайти проміжки знакосталості функції f.

5) З'ясувати, на яких проміжках функція f зростає, а на яких спадає.

6) Знайти точки екстремума, вид екстремума (максимум чи мінімум) і обчислити значення f у цих точках.

7) Вияснити, чи має функція вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти.

На практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною схемою і в такій саме послідовності.

Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву і на нескінченності.

Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є періодичною. Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.