Приложение общих теорем к динамике твердого тела
Дифференциальные уравнения движения твердого тела
1 Поступательное движение твердого тела
ПД ТТ описывает движение одной любой точки, например, центра масс. Поэтому ДУ движения тела в векторной и скалярной форме имеют следующий вид:
2 Вращательное движение твёрдого тела.
Рассмотрим приложения общих теорем динамики к некоторым задачам о движении абсолютно твёрдого тела. Так как изучение поступательного движения твёрдого тела сводится к задачам динамики точки, то мы начнём непосредственно с рассмотрения вращательного движения.
Рис. 55
Пусть
на твёрдое тело, имеющее неподвижную
ось вращения Z (рис.55),
действует система заданных сил 
, 
,...
.
Одновременно на тело действуют реакции
подшипников 
и 
.
Чтобы исключить из уравнения движения
эти наперед неизвестные силы, воспользуемся
теоремой моментов относительно оси Z.
Так как моменты сил
и
относительно
оси Z равны
нулю, то получим:
;
.
Будем
в дальнейшем величину 
называть
вращающим моментом.
Подставляя
в предыдущее равенство значение 
,
найдём:
или 
.
Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела. Из него следует, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающему моменту:
.
Равенство показывает, что при данном чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение и наоборот. Следовательно, момент инерции тела действительно играет при вращательном движении такую же роль, как масса при поступательном, т.е. является мерой инертности тела при вращательном движении.
Отметим следующие частные случаи:
1)
Если 
,
то
,
т.е. тело вращается равномерно.
2)
Если 
,
то и 
,
т.е. тело вращается равнопеременно.
Пример 15. Стержень весом Р и длиной l качается как маятник в вертикальной плоскости, вращаясь вокруг горизонтальной оси О (рис.56).
Рис.56
Составим уравнение качаний стержня.
Так
как 
и
реакции оси не учитываются, то получим
или 
.
3 Плоскопараллельное движение твердого тела.
Положение тела, совершающего, плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением полюса и углом поворота тела вокруг полюса. Задачи динамики будут решаться проще всего, если за полюс взять центр масс С тела (рис.58) и определять положение тела координатами XC, YC и углом .
Рис.58
На рис.58 изображено сечение тела плоскостью, параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс С. Пусть на тело действуют внешние силы , ,... , лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнения движения точки С найдём по теореме о движении центра масс
,
а вращательное движение вокруг центра С будет определятся уравнением
,
т.к. теорема, из которой получено это уравнение, справедливо и для движения системы вокруг центра масс. В результате, проектируя обе части равенства на координатные оси, получим:
, 
, 
,
, 
, 
Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела. С их помощью можно по заданным силам определить закон движения тела или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих сил.
При
несвободном движении, когда траектория
центра масс известна, уравнения движения
точки С удобно
составлять в проекциях на касательную 
и
главную нормаль n к
этой траектории. Тогда получим:
, 
, 
,
где 
-
радиус кривизны траектории центра масс.
Пример 16. Однородный круглый цилиндр скатывается по наклонной плоскости (рис.59). Цилиндр совершает плоскопараллельное движение.
Рис.59
Так
как 
и,
значит, 
составим
дифференциальное уравнение вращения
относительно оси 
проходящей
через мгновенный центр скоростей.
Момент инерции цилиндра относительно
оси 
Поэтому
уравнение получится таким 
или 
Знак (–) указывает на направление углового ускорения – по часовой стрелке.
Обратим внимание на то, что реакции не вошли в уравнение.
Чтобы
определить реакцию 
,
составим еще одно дифференциальное
уравнение вращения, относительно
центральной оси С :
Отсюда 
Конечно, 
.
Чтобы тело катилось без скольжения
должно выполняться условие 
или 
Поэтому
коэффициент трения скольжения должен
удовлетворять условию 
Пример 17. Балочка АВ длиной l и весом Р падает, скользя концами по гладким поверхностям стены и пола (рис.60). Составим дифференциальное уравнение вращения.
Рис.60
Здесь 
Поэтому
опять выгоднее составить дифференциальное
уравнение вращения относительно оси
.
Тем более, что неизвестные реакции 
и 
не
войдут в это уравнение.
Так
как 
то
уравнение получится таким: 
Отсюда 
Пример
18. Тело,
имеющее форму половины кругового
цилиндра, катается по горизонтальной
плоскости без скольжения. Вес его
– Р. Положение
центра тяжести определяется
расстоянием 
момент
инерции относительно оси О: 
Рис.61
Поскольку
неизвестны ни сила трения 
ни
нормальная реакция N,
конечно следует составлять дифференциальное
уравнение вращения относительно оси 
.
Момент
инерции тела относительно оси 
по
теореме Гюйгенса-Штейнера, 
,
а 
,
поэтому 
.
Расстояние 
производная 
Количество
движения 
Составляем дифференциальное уравнение:
или 
После
подстановки значения 
,
получим
и, окончательно, подставив значение 
Пример
19. Стержень
качался как маятник, вращаясь в
вертикальной плоскости вокруг шарнира О.
В момент, когда стержень был в вертикальном
положении и угловая скорость его была 
,
шарнир разрушился. Определим дальнейшее
движение стержня.
Стержень начнет совершать плоскопараллельное движение. На рис.62 показано его промежуточное положение.
Рис.62
Составим дифференциальные уравнения движения.
или 
Интегрируем их дважды:
и 
Начальные условия: при t = 0
, 
Подставив
их в последние шесть уравнений,
получим 
Тогда уравнения плоскопараллельного движения стержня
Например,
стержень займет горизонтальное
положение, 
,
в момент 
когда
центр масс его будет в точке с
координатами 
Метод кинетостатики. Принцип Даламбера
Все методы решения задач динамики, которые мы до сих пор рассматривали, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредственно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствиями этих законов. Однако, этот путь не является единственным. Оказывается, что уравнения движения или условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу вместо законов Ньютона другие общие положения, называемые принципами механики. В ряде случаев применение этих принципов позволяет, как мы увидим, найти более эффективные методы решения соответствующих задач. В этой главе будет рассмотрен один из общих принципов механики, называемый принципом Даламбера.
Пусть мы имеем систему, состоящих из n материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой . Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил и (в которые входят и активные силы, и реакции связи) точка получает по отношению к инерционной системе отсчета некоторое ускорение .
Введем в рассмотрение величину
,
имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки(иногда даламберовой силой инерции).
Тогда
оказывается, что движение точки обладает
следующим общим свойством: если в
каждый момент времени к фактически
действующим на точку силам
и
прибавить
силу инерции 
,
то полученная система сил будет
уравновешенной, т.е. будет
.
Это
выражение выражает принцип Даламбера
для одной материальной точки. Нетрудно
убедиться, что оно эквивалентно второму
закону Ньютона и наоборот. В самом деле,
второй закон Ньютона для рассматриваемой
точки дает 
.
Перенося здесь член 
в
правую часть равенства и придем к
последнему соотношению.
Повторяя проделанные высшее рассуждения по отношению к каждой из точек системы, придем к следующему результату, выражающему принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на ней внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения статики.
Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия; что делает единообразный подход к решению задач и обычно намного упрощает соответствующие расчёты. Кроме того, в соединении с принципом возможных перемещений, который будет рассмотрен в следующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новый общий метод решения задач динамики.
Применяя
принцип Даламбера, следует иметь в виду,
что на точку механической системы,
движение которой изучается, действуют
только внешние и внутренние силы
и
,
возникающие в результате взаимодействия
точек системы друг с другом и с телами,
не входящими в систему; под действием
этих сил точки системы и движутся с
соответствующими ускорениями 
.
Силы же инерции, о которых говорится в
принципе Даламбера, на движущиеся точки
не действуют (иначе, эти точки находились
бы в покое или двигались без ускорений
и тогда не было бы и самих сил инерции).
Введение сил инерции - это лишь приём,
позволяющий составлять уравнения
динамики с помощью более простых методов
статики.
Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причём по принципу отвердевания это справедливо для сил, действующих не только на твёрдое тело, но и на любую изменяемую систе6му. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:
Введём обозначения:
Величины 
и 
представляют
собой главный
вектор и главный момент относительно
центра О системы
сил инерции. В результате, учитывая, что
геометрическая сумма внутренних сил и
сумма их моментов равны нулю, получим
из равенств:
, 
(1)
Применение уравнений (1), вытекающих из принципа Даламбера, упрощает процесс решения задач, т.к. эти уравнения не содержат внутренних сил.
В проекциях на оси координат эти равенства дают уравнения, аналогичные соответствующим уравнениям статики. Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач, надо знать выражение главного вектора и главного момента сил инерций.
Главный вектор и главный момент сил инерции твёрдого тела.
Система
сил инерции твёрдого тела можно заменить
одной силой, равной
и
приложенной в центре О,
и парой с моментом, равным
.
Главный вектор системы сил, как известно,
не зависит от центра приведения и может
быть вычислен заранее. Т.к. 
,
то
(2)
Следовательно, главный вектор сил инерции тела, совершающего любое движение, равен произведению массы тела на ускорение его центра масс и направлен противоположно этому ускорению.
Прикладывается главный вектор к точке приведения, которую можно назначить в любом месте, т.е. он не зависит от выбора этой точки.
Если ускорение разложить на касательное и нормальное, то вектор разложиться на составляющие
, 
.
С определением главного момента сил инерции возникает немало сложностей. Рассмотрим несколько частных случаев.
1.
Поступательное движение. В
этом случае тело никакого вращения
вокруг центра масс С не
имеет. Отсюда заключаем, что 
,
и равенство (1) даёт 
.
Следовательно, при поступательном движении силы инерции твёрдого тела приводят к одной равнодействующей, равной и проходящей через центр масс тела.
2. Плоскопараллельное движение. Пусть тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно ей. Вследствие симметрии главный вектор и результирующая пара сил инерции, так же как и центр масс С тела, лежат в плоскости симметрии.
Тогда,
помещая центр приведения в точке С,
получим из равенства (1) 
.
С другой стороны 
.
Отсюда заключаем, что
Рис.54
(3)
Таким
образом, в рассмотренном случае движение
системы сил инерции приводится к
результирующей силе, равной
[формула
(2)] и приложенной в центре масс С тела
(рис.54), и к лежащей в плоскости симметрии
тела паре, момент которой определяется
формулой (3). Знак минус в формуле
показывает, что направление
момента 
противоположно
направлению углового ускорения тела.
3. Вращение
вокруг оси, проходящей через центр масс
тела. Пусть
опять тело имеет плоскость симметрии,
а ось вращения СZ перпендикулярна
к этой плоскости и проходит через центр
масс тела. Тогда данный случай будет
частным случаем предыдущего. Но при
этом 
,
а следовательно, и 
.
Таким образом, в рассмотренном случае система сил инерции приводится к данной паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения тела, и имеющей момент
.
При решение задач по формулам (1) и (3) вычисляются модули соответствующих величин, а направление их указывают на чертеже.