Декартово произведение множеств, его график.
Упорядоченная
пара
– это
объект, в котором указаны первый
и второй
элементы (соответственно,
и
).
Декартовым
произведением
двух множеств
и
называется множество всех упорядоченных
пар с первым элементом из множества
и со вторым элементом из множества
:
.
Если
,
то декартово произведение
представляется на координатной плоскости:
пара
изображается
точкой с координатами
и
.
Виды соответствий, их графы и графики.
Подмножество
декартова произведения
называется соответствием
между множествами
и
.
При этом пишут
.
Если
,
то пишут
и говорят, что элементу
поставлен
в соответствие
элемент
.
Соответствие
называется тождественным
отображением
на множестве M.
Пусть
дано соответствие
.
Соответствие
называется обратным
к соответствию
,
если
.
Пусть
заданы два соответствия:
и
.
Композицией
соответствий
и
называется соответствие
,
определенное следующим образом:
.
Существует два вида соответствий: всюду определенные и однозначные.
Соответствие
называется всюду
определенным,
если выполняется следующее условие:
.
Соответствие
называется однозначным,
если выполняется следующее условие:
.
Всюду определенное и однозначное соответствие называется отображением множества в множество .
Виды отображений, их графы и графики.
Однозначное
соответствие
называется также функцией.
При этом вместо записи
пишут
.
Если для некоторого
не существует
,
такого, что
,
то говорят, что
не
определено.
Графиком функции называется множество
.
Существует два вида отображений: инъекции и сюръекции.
Отображение
называется сюръекцией,
или отображением
множества
на
множество
,
если
.
Отображение называется инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества в множество , если
.
Отображение , которое одновременно является и инъекцией, и сюръекцией, называется биекцией, или взаимно однозначным отображением множества на множество .
Бинарные отношения, их свойства.
Любое
подмножество
декартова
произведения
называется (бинарным)
отношением
на множестве M.
Пусть
и
.
Тогда пишут
.
Приведем основные свойства отношения P, заданного на множестве M:
рефлексивность: для всех xÎM выполняется xPx;
антирефлексивность: для всех xÎM неверно, что xPx;
симметричность: для всех x,yÎM из xPy следует, что yPx;
асимметричность: для всех x,yÎM из xPy следует неверно, что yPx;
антисимметричность: для всех x,yÎM из xPy и yPx следует, что x=y;
транзитивность: для всех x,y,zÎM из xPy и yPz следует, что xPz;
связность: для всех x,yÎM верно, что xPy, или yPz или x=y.
3.
Обратное отношение. Композиция отношений.
Над отношениями, заданными на множестве
M,
можно производить те же операции, что
над множествами: объединение
,
пересечение
,
дополнение
.
Отношение
называется диагональю
множества M.
Отношение
называется обратным
к отношению
.
Отношение
называется композицией
отношений
и
.
С помощью операций над отношениями можно охарактеризовать свойства отношений: отношение P на множестве M
рефлексивно
тогда и только тогда, когда
;
антирефлексивно
тогда и только тогда, когда
;
симметрично
тогда и только тогда, когда
;
асимметрично
тогда и только тогда, когда
;
антисимметрично
тогда и только тогда, когда
;
транзитивно
тогда и только тогда, когда
;
связно
тогда и только тогда, когда
.