Односторонние пределы функций

Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа). Пусть на некотором числовом множестве   задана числовая функция   и число   — предельная точка области определения  . Существуют различные определения для односторонних пределов функции   в точке  , но все они эквивалентны.

Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.

Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой

Предел отношения многочленов при стремлении аргумента к бесконечности (∞/∞) (3-ий замечательный предел)

1-ый замечательный предел (0/0) и его следствия

Первый замечательный предел имеет вид: 

На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде

где, k – коэффициент.

Пояснение:

Следствия первого замечательного предела:

1. 

2. 

Эти следствия очень просто доказываются, если использовать правило Лопиталя или заменуэквивалентных бесконечно малых функций.

2-ой замечательный предел (1^∞) и его следствия

Непрерывность функции в точке. Определения

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x₀) точки x₀(включая саму точку x₀).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует lim_x → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке: т.е.

O( f(x0) )       O(x0) :     x   O(x0)   f(x)   O( f(x0) ) .

Замечание. Равенство можно записать в виде:

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Точки разрыва и их классификаций

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀является точкой разрыва, если  функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше)  , то функция называется непрерывной справа.

 

 

 

 

 

 

                                                                                 х₀

 

 

Если односторонний предел (см. выше)  , то функция называется непрерывной слева.

 

 

 

 

                                                                     х₀

 

 

 

            Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

 

            Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

 

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

 

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

 

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример. Функция f(x) =   имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

 

            Пример. f(x) = 

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел  , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

 

 

График этой функции: