Отображения

Отображения. Отображением множества в множество (обозначается ) называется правило, в силу которого каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . При этом множество называется областью определения (ОДЗ), -- областью значений, -- аргументом, а -- значением отображения на элементе или образом элемента при отображении . Формально, отображение задается своим графиком

При этом отображение отождествляется с тройкой . Говорят, что отображение взаимно однозначно, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения отображения . Это эквивалентно следующему условию:

Множество

н азывается областью значений отображения . Очевидно, что есть подмножество множества N. Если , т.е. если для всякого найдется хотя бы один аргумент (прообраз ) такой, что , то назовем отображением множества M на множество N.

Можно задавать отображение таблицей из двух строк, где в первой строке перечислены все возможные аргументы, а во второй – соответствующие им значения. Если и числовые множеств, то отображение называют более точно -- функцией. В этом случае чаще прибегают к аналитическому способу задания функции. Функция задается аналитическим выражением, в которое входят переменная , константы и известные и точно определенные операции (арифметические, корни, логарифмы, показательные функции, тригонометрические и т.п.) Естественной ОДЗ аналитического выражения называется совокупность всех чисел, при которых все операции, входящие в аналитическое выражение определены, и получается итоговый результат --

Мы рассмотрели только важнейшие способы задания отображений. Вообще говоря, правило задающие отображение может быть весьма причудливым -- например, отображение Pi из множества ℕ натуральных чисел в множество цифр {0,1,… ,9} такое, что Pi(n) есть цифра, стоящая на n-ом месте в десятичной записи числа π (Pi(1)=1, Pi(2)=4 и т.д.). С другой стороны, правило сопоставляющее натуральному числу n его делитель, не является функцией, ибо отсутствует однозначность образа -- у числа может быть несколько делителей.

Взаимно однозначное отображение и одновременно отображение "на" называется биективным, или биекцией. Если мы сопоставим элементу сам этот элемент , то получим тождественное отображение которое, конечно, будет биекцией.

Композицией отображений и называется отображение такое, что для всех . В этом случае функцию называют также подстановкой функции в функцию . Например, функция получается подстановкой в функцию функции . Заметим, что композиция подчиняется закону ассоциативности: если кроме и имеется еще отображение , то

.

Действительно, применяя левую и правую часть этого соотношения к элементу , получаем в обоих случаях .

Отображение является биекцией в том и только том случае, когда существует отображение , называемое обратным, такое, что и -- тождественные отображения. Обоснуем это. Пусть -- биекция. Определим так, что, если элемент n∈ N произволен, то -- тот единственный элемент, для которого f(m)=n. Легко проверить, что и -- тождественные отображения. Наоборот, пусть и -- тождественные отображения для некоторого . Если , то и взаимная однозначность следует. Далее, если n∈ N -- произвольный элемент, то тот элемент из N, для которого . Это доказывает, что есть отображение "на".