2. Числовые множества. Множество действительных (вещественных) чисел.

Определение. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

- множество натуральных чисел;

- множество целых чисел;

- множество рациональных чисел;

- множество действительных чисел.

Замечание: Между множествами ℕ, ℤ, ℚ, ℝ существует соотношение:

.

Множество ℝ разбивается на два множества: ℚ и множество иррациональных чисел. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Теорема 1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Свойства множества ℝ:

1°. Множество ℝ является упорядоченным, т. е. .

2°. Множество ℝ плотное, т. е. между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х.

3°. Множество ℝ непрерывное.

Пусть множество ℝ разбито на два непустых класса A и B такие, что каждое действительное число содержится только в одном из них и a∈A, b∈B выполнено a < b. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число c∈ℝ: a ≤ c ≤ b a∈A, b∈B. Оно отделяет числа класса A от чисел класса B. Число c называется либо наибольшим числом в классе A (тогда в B нет наименьшего числа), либо наименьшего в классе B (тогда в A нет наибольшего числа ).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством ℝ и множеством всех точек прямой. Это означает, что x∈ℝ соответствует определённая единственная точка числовой оси, и наоборот, точке прямой соответствует определённое единственное действительное число.

Пусть a,b ∈ℝ, a < b. Будем использовать следующие обозначения:

1. [a,b]={x∈ℝ|a ≤ x ≤ b} – отрезок (сегмент);

2. (a,b)={x∈ℝ|a < x < b} – интервал;

3. ℝ=(-∞;˖∞);

4. [a;b), (a;b], (a;˖∞), [a;˖∞), (-∞;a), (-∞;a] – аналогично.

Определение. Пусть x_₀∈ℝ. Окрестностью точки x_₀ называется любой интервал (a,b), содержащий точку x_₀. В частности интервал (x_₀- ,x_₀˖ ), где > 0, называется -окрестность точки x_₀.

3. Операции над вещественными числами.

1. Сложение и умножение вещественных чисел.

Для любой пары вещественных чисел a и b определены единственным образом два вещественных числа a+b и a·b, называемые, соответственно, их суммой и произведением.

Свойства операции "+" и "·".

1^⁰ Коммутативное свойство: a+b=b+a

a·b=b·a

2^⁰ Ассоциативное свойство: a+(b+c)=(a+b)+c

a·(b·c)=(a·b)·c

3^⁰ Дистрибутивное свойство: (a+b)·c=a·c+b·c

c·(a+b)=c·a+c·b

4^⁰ единственное 0∈ℝ: a+0=0+a=a ∀a∈ℝ

5^⁰ ∀a∈ℝ –a∈ℝ: a+(–a)=(–a)+a=0

6^⁰ единственная 1 0: ∀∈ℝ: a·1=1·a=a

7^⁰ ∀ 0 a∈ℝ a^‐1∈ℝ: a· a^‐1= a^‐1·a=1, a^‐1= .

2. Сложение вещественных чисел.

Для любых a, b∈ℝ установлено одно из трёх соотношений:

a=b, a > b или a < b.

1^⁰ Если a > b и b > c, то a > c

2^⁰ Если a > b, то a+b > b+c

3^⁰ Если a > 0, b > 0, то a·b > 0

Число a∈ℝ, удовлетворяющее неравенству a > 0 называется положительным, а число a, удовлетворяющее неравенству a < 0 – отрицательным.