12) Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Теоре́ма Вариньо́на — одна из теорем механики, устанавливающая зависимость между моментами сил данной системы и моментом их равнодействующей силы относительно какого-либо центра или оси. Сформулирована для сходящихся сил Пьером Вариньоном в 1687, либо, ещё раньше, Симоном Стевином.

Теорема Вариньона:

Если система сил, приложенных к абсолютно твердому телу, имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольного центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы о тносительно того же центра (оси).

Векторная запись теоремы: 

13) Равновесие системы тел. Статически определимые и статически неопределимые системы. Равновесие при наличии сил трения. Трение скольжения при покое и при движении.

 Статический расчет системы тел сводится к рассмотрению условий равновесия конструкций, состоящих из тел, соединенных какими-нибудь связями. Связи, соединяющие части конструкции называются внутренними, скрепляющие конструкцию с другими телами, в нее не входящими - внешними.

    При решении задач статики реакции связей входят в число неизвестных, которые необходимо определить из уравнений равновесия. Система тел, для которых число неизвестных реакций связей равно числу уравнений равновесия, называются статически определимыми. Система тел, для которых число неизвестных реакций связей больше числа уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

    Если при отбрасывании внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задача о равновесии решается как для абсолютно твердого тела (при действии плоской системы сил число неизвестных реакций связей не должно быть больше трех).

    Если после отбрасывания внешних связей конструкция не считается жесткой, то наиболее рациональным способом решения подобных задач является расчленение на отдельные тела и составление уравнений равновесия для каждого из тел в отдельности.

    Для конструкции из n тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, получится таким путем 3n уравнений равновесия, позволяющих найти 3n неизвестных.

    Например, если отбросить опоры А и В трехшарнирной арки, то она не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг шарнира С. Для определения реакций внешних связей Х_А, Y_А, Х_В,Y_В   расчленим конструкцию по соединительному шарниру С на две части и рассмотрим равновесие каждой из частей в отдельности.

    При действии на трех шарнирную арку произвольной плоской системы сил для каждой части можно записать три уравнений равновесия:

для АС                                            для СВ

    Присоединить к этой системе шести уравнений на основании закона о действии и противодействии уравнения для узла С (Х_С = Х_С, Y_С = Y_С), получим систему уравнений из которой можно найти реакции внешних связей Х_А, Y_А, Х_В, Y_В и реакции внутренних связей Х_С, Y_С.

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.

В реальной практике встречаются такие конструкции при рас­чете которых одних лишь уравнений равновесия оказывается не­достаточно, в связи с чем требуется формулирование дополнитель­ных уравнений, связанных с условиями деформирования конструк­ции.

      Системы, в которых количество наложенных связей больше, нежели число независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

Равновесие твердого тела при наличии трения

Если к твердому телу, покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, приложить горизонтальную силу  F, то действие этой силы вызовет появление силы сцепления  F_сц = - F, представляющей собой силу противодействия плоскости смещению тела. Благодаря силе трения тело остается в покое при изменении модуля силы F  от нуля до некоторого значения  F_max. 

Модуль силы сцепления также изменяется от 0 до F_сц^max  в момент начала движения. Модуль максимальной силы сцепления пропорционален нормальному давлению  N тела на плоскость, т.е. F_сц^max = f_сцN . 

Коэффициент пропорциональности f_сц  является безразмерной величиной и называется коэффициентом сцепления (трения), который зависит от материала и физического состояния соприкасающихся тел и определяется экспериментально.

Сила трения покоя – сила, возникающая на границе соприкасающихся тел при отсутствии их относительного движения.

Сила трения покоя направлена по касательной к поверхности соприкасающихся тел (рис. 10) в сторону, противоположную силе F, и равна ей по величине: Fтр = - F.

При увеличении модуля силы F изгиб зацепившихся зазубрин будет возрастать и, в конце концов, они начнут ломаться и тело придёт в движение.

Сила трения скольжения – это сила, возникающая на границе соприкасающихся тел при их относительном движении.

Вектор силы трения скольжения направлен противоположно вектору скорости движения тела относительно поверхности, по которой оно скользит.

Тело, скользящее по твёрдой поверхности, прижимается к ней силой тяжести Р, направленной по нормали. В результате этого поверхность прогибается и появляется сила упругости N (сила нормального давления или реакция опоры), которая компенсирует прижимающую силу Р (N = - P).

Чем больше сила N, тем глубже сцепление зазубрин и тем труднее их сломать. Опыт показывает, что модуль силы трения скольжения пропорционален силе нормального давления:

Fск = μ • N.

Безразмерный коэффициент μ называется коэффициентом трения скольжения. Он зависит от материалов соприкасающихся поверхностей и степени их шлифовки. Например, при передвижении на лыжах коэффициент трения зависит от качества смазки (современные дорогостоящие смазки), поверхности лыжни (мягкая, сыпучая, уплотнённая, оледенелая) тем или иным состоянием снега в зависимости от температуры и влажности воздуха и др. Большое количество переменных факторов делает сам коэффициент непостоянным. Если коэффициент трения лежит в пределах 0,045 – 0, 055 скольжение считается хорошим.