29. Теплопроводность. Дифференциальное уравнение теплопроводности.

Теплопрово́дность — это процесс переноса внутренней энергии от более нагретых частей тела (или тел) к менее нагретым частям (или телам), осуществляемый хаотически движущимися частицами тела ( атомами, молекулами, электронами и т.п.). Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния вещества. Явление теплопроводности заключается в том, что кинетическая энергия атомов и молекул, которая определяет температуру тела, передаётся другому телу при их взаимодействии или передаётся из более нагретых областей тела к менее нагретым областям. Иногда теплопроводностью называется также количественная оценка способности конкретного вещества проводить тепло.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Выделим в однородном и изотропном теле параллелепипед с объемом dV с ребрами dx,dy,dz (рисунок 4.2).

Физические свойства тела: теплоемкость(с), плотность (р), теплопроводность (λ одинаковы во всех точках).

Температура на левой грани равна t, на правой грани с учетом изменения (с учетом градиента)

Количество тепла, входящее в параллелепипед через его грани за промежуток времени dτ, в соответствии с законм Фурье равно:

по оси х через грань dydz

по оси у через грань dxdz

по оси z через грань dxdy

Рисунок 4.2 - К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Количество тепла, выходящее из параллелепипеда через противоположные грани за тот же промежуток времени, определяется следующим образом:

по оси х:

по оси у:

по оси z:

Учитывая, что часть теплоты расходуется на повышение температуры в объеме параллелепипеда, ее можно выразить через разность:

по оси х:

по оси у

по оси z

Просуммируем количество теплоты во всем объеме за промежуток времени dτ. Тогда получим:

По закону сохранения энергии количество теплоты, необходимое для уменьшения энтальпии равно:

где - представляет собой изменение температуры параллелепипеда

за промежуток времени dτ. Приравняем полученные выражения и, разделив переменные, получим:

Обозначим тогда

(4.5)

Коэффициент а в уравнении (4.5) носит название температуро-проводности и характеризует инерционные свойства тела. Коэффициент а

имеет размерность

При установившемся процессе , тогда а²t = 0,

но а ≠ 0, следовательно

(4.6)

Уравнение (4.6) является дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.

НЕ ЗНАЮ НАДО ЛИ!!! Закон Фурье

Основным законом передачи тепла теплопроводностью является закон Фурье, согласно которому количество тепла, передаваемое посредством теплопроводности через элемент поверхности dF , равно

[Дж] (4.3)

или через единицу поверхности в единицу времени

(4.4)

где q - плотность теплового потока, [Дж/м² -с];λ - коэффициент теплопроводности, равный

Примерные значения теплопроводности:

капельная жидкость: 0,1...0,7 [Вт/м град]; газы: 0,006...0,165 [Вт/м град]; теплоизоляционные материалы: 0,03...0,1 [Вт/м град]; воздух: 0,023 [Вт/м град];чистая медь: 394...400 [Вт/м град];сталь 50...60 [Вт/м град].

Если λ высокие, то по закону Фурье можно передать больше тепловой энергии.