Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторовλ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Два вектора плоскости   линейно независимы в том и только том случае, если они не коллинеарны

 Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов  , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

8

Декартовой называется система, базисные векторы которой взаимно ортогональны, по модулю равны единице и образуют правую тройку. Обозначаются базисные векторы латинскими буквами, которые называются, в соответствии с традицией, по-французски: i – и, j – жи, k – кА

Если известны две точки плоскости  , то координаты точки  , которая делит отрезок   в отношении  , выражаются формулами:

Пример 1

Найти координаты точки  , делящей отрезок   в отношении  , если известны точки 

Решение: В данной задаче  . По формулам деления отрезка в данном отношении, найдём точку  :

9 Скалярное произведение векторов и его свойства

Основные свойства скалярного произведения векторов:  1. a •b = b• a;  2. (λa)•b= •(λb) = λ (a•b);  3. a•(b+с) = a•b+a•с;  4. a • a = | a |²;  5. a • b = 0, если a ┴ b.

10 Векторное произведение векторов и обозначается символом :

     (25)

или

     (26)

Для произвольных векторов   и произвольного числа   справедливы следующие свойства:

1) Векторное произведение   равно нулю, если векторы   и   коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2)    В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

3)   – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью. Иными словами, порядок векторов имеет значение.

4)   – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы беспроблемно выносятся за пределы векторного произведения.

5)   – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. 

Векторное произведение векторов  , заданных в ортонормированном базисе  , выражается формулой:

11

Сме́шанное произведе́ние   векторов   — скалярное произведение вектора   на векторное произведение векторов   и  :

.

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов   равен объему   параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение   положительно, если тройка векторов   — правая, и отрицательно, если тройка   — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение   равно нулю тогда и только тогда, когда векторы   компланарны:

 векторы   компланарны.

• Смешанное произведение   в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов   и  :

• Смешанное произведение   в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов   и  , взятому со знаком «минус»:

В частности,

• Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.

• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

• Геометрический смысл — Смешанное произведение   по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда,  образованного векторами   и  ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

1°    

2°