Примеры

Вычислить: 

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

Следовательно 

Тогда

Теперь легко вычислить исходный интеграл 

12. Вывести формулу Ньютона-Лебница для определенных интегралов.

Теорема 4

Если  функция  f(x)  непрерывна  на  отрезке  [a, b], то

 

                                   ,                                          (10)

 

где  F(x)  некоторая  первообразная  функции  f(x).

Формула (10) называется  формулой  Ньютона  Лейбница.

Формулу Ньютона  Лейбница можно переписать как

 

,

 

где  .

Вывод. Определенный интеграл   от непрерывной функции f(x) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Формула Ньютона  Лейбница открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вычисления неопределенных интегралов.

 

П р и м е р  2.  Вычислить интеграл  .

Решение.  .

 

Если считать переменным нижний предел интегрирования, то пользуясь формулой Ньютона  Лейбница, получим

 

или

                                             .   

13. Определение непрерывной функции в точке, на отрезке.

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

Тот же факт можно записать иначе: 

 

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

 

            При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

 

Св-во функции непрерывной на отрезке.

            Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M £ f(x) £ M.

 

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀.

 

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m,  f(x₂) = M, причем

m £ f(x) £ M

 

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

 

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

 

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак.

 

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

 

Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х₀: f(x₀) = 0.