1.4. Нелинейные законы фильтрации /ввести нумерацию/
Проведенные в дальнейшем эксперименты показали, что закон Дарси не является универсальным и нарушаются области малых и больших скоростей. Нарушение в области малых скоростей связано с молекулярным эффектом. Причины, вызывающие отклонение от закона Дарси при больших скоростях, являются до настоящего времени предметом дискуссии среди исследователей.
В 1901 году австрийский ученый Форхгейме, ссылаясь на исследования Мазони, рекомендовал выражать зависимость градиента давления от скорости двучленным законом фильтрации:
,
(18)
Двучленный закон фильтрации в дифференциальной форме при прямолинейной фильтрации газа в принятых сейчас обозначениях, без учета силы тяжести имеет два вида записи:
,
(19)
или
(20)
где - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально,
l – коэффициент макрошероховатости, характеризующий структуру порового пространства, - плотность газа (жидкости).
Первое слагаемое в правой части уравнения (19) учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе слагаемое – инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью и извилистостью поровых каналов.
При малых скоростях течения природа нелинейности закона фильтрации иная, чем в области больших скоростей фильтрации (больших значений числа Рейнольдса). Она связана с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся флюидов, а также других физико-химических эффектов и больших поверхностных сил (сил взаимодействия между флюидом и твердым скелетом). При очень малых скоростях фильтрации неньютоновскими свойствами в пористой среде могут обладать даже ньютоновские жидкости. Но с ростом скорости этот эффект в ньютоновских жидкостях исчезает. В нефтегазовом деле к жидкостям, проявляющим неньютоновские свойства, относят аномальные нефти и буровые растворы. Поэтому для качественного изучения вопроса и количественной оценки этих эффектов необходимо отказаться от модели вязкой однородной жидкости и заменить ее какой-либо другой реологической моделью пластового флюида.
Ограничимся формулировкой наиболее простого нелинейного закона фильтрации неньтоновских жидкостей, в основе которого лежит модель фильтрации с предельным градиентом. Для случая одномерного линейного потока его можно представить в виде
,
при
,
(21)
,
при
,
где
- предельный (начальный) градиент
давления, по достижении которого
начинается движение жидкости: при
меньших значениях градиента давления
фильтрационное течение отсутствует,
этот параметр измеряется в лабораторных
условиях. зависит от начального сдвига
жидкости и эффективного диаметра
капилляра.
Закон фильтрации записывают также в виде одночленной степенной формулы:
(22)
где С и n - постоянные, определяемые опытным путем, причем 1< n < 2.
При n = 1 из (22) получается закон Дарси, при n = 2 – квадратичный закон А.А. Краснопольского.
Таким образом, формула (19) имеет два параметра и k, которые подлежат дальнейшему изучению и установлению связи между ними.
Входящий в линейный закон фильтрации Дарси (17) коэффициент проницаемости определяется при исследовании кернов или на основе гидродинамических исследований.
Исследованиями показано, что для пористых сред коэффициент проницаемости зависти от размера зерен и их дисперсности, коэффициента пористости, формы зерен, степени их сцементированности и. т. д.
Л.С. Лейбензон предложил выразить коэффициент проницаемости в виде:
(23)
где d – линейный размер (диаметр) зерен пористой среды, Sl – безразмерный критерий (число Слихтера), зависящий от коэффициента пористости и структуры порового пространства, т. е.
(24)
где - некоторый параметр, характеризующий структуру порового пространства пласта, m – коэффициент пористости.