2.1. Закон сохранения массы.

Для математической формулировки законов сохранения рассматривают или материальный (подвижный), или контрольный объем.

Под материальным (подвижным) объемом понимается объем, состоящий во все моменты времени из одних и тех же материальных точек.

Область пространства, через границы которой могут проходить вещество, энергия, количество движения и т.д. и на которую могут действовать внешние силы, называется контрольным объемом, а поверхность, ограничивающая эту область – контрольной поверхностью. Контрольная поверхность может перемещаться в пространстве, но обычно считается неподвижной.

Вычислим массу флюида в контрольном объеме пористой среды. Масса жидкости, содержащаяся в бесконечно малом (физическом) объеме пористой среды, равна . Объем пор в элементарном объеме пористой среды равен . Умножив его на плотность, получим массу флюида в элементарном объеме пористой среды

П роинтегрировав написанное соотношение по всему контрольному объему, получим массу флюида в контрольном объеме

.

Так как через контрольную поверхность флюид может втекать и вытекать (рис. 2.1На рис. ав и а'в' убрать, добавить нормаль), то масса флюида изменяется во времени. Изменение массы по времени вычисляется следующим образом.

Изменение массы, равно притоку массы через контрольную поверхность, который равен

,

где n_i – внешняя нормаль к контрольной поверхности.

Поток массы через элементарную площадку dS равен скалярному произведению вектора массовой скорости и вектора нормали к площадке умноженному на ее площадь. Для того чтобы вычислить поток массы через всю поверхность нужно проинтегрировать эти элементарные потоки по всей поверхности. Следовательно, можно составить балансовое уравнение

= – . (2.1)

Изменение массы в контрольном объеме равно притоку флюида через контрольную поверхность.

Появление знака «минус» в правой части уравнения обусловлено ориентацией вектора нормали к контрольной поверхности. Так как нормаль внешняя к контрольной поверхности, то «втеканию» флюида в контрольный объем соответствует увеличение массы и положительное значение производной по времени в левой части равенства (2.1), а скалярное произведение под интегралом в левой части равенства отрицательно. Для выравнивания знаков необходимо ставить минус. Аналогично получается при «вытекании» флюида.

Уравнение (2.1) представляет собой интегральную формулировку закона сохранения массы в пористой среде.

При установившемся движении производная по времени равна нулю, и из (2.1) следует

Поэтому если в качестве контрольного объема взять трубку тока для скорости фильтрации, то получим

, (2.2)

где S_α (α = 1, 2) – площади двух сечений трубки тока (на входе и на выходе).

При выводе равенства (2.2) было использовано, что скалярное произведение вектора скорости фильтрации на вектор нормали равно , где ω_n – проекция вектора скорости на нормаль (например, для сечения 2 она положительна, для 1 - отрицательна).

Для несжимаемой жидкости , поэтому

Если скорости в сечениях равны, то .

От интегральной формулировки закона сохранения массы (2.1) можно перейти к дифференциальной форме. Для этого, во-первых, так как контрольный объем фиксирован в пространстве и его положение не зависит от времени, вносят оператор под знак интеграла, и, во-вторых, с помощью теоремы Гаусса-Остроградского поверхностный интеграл преобразуют в объемный. В результате преобразований получают

(2.3)

Дивергенция вектора ¯а -

Из условия, что равенство (2.3) выполняется для любого «физического» объема, следует, что выражение под знаком интеграла равно нулю.

(2.4)

Уравнение (2.4) задает закон сохранения массы в пористой среде в дифференциальной форме или уравнение неразрывности при фильтрации флюида в пористой среде.

Если пористость величина постоянная, то ее выносят за знак производной

(2.5)

Для несжимаемого флюида ρ = const, поэтому уравнение неразрывности будет

.

При выводе интегрального и дифференциального закона сохранения массы, считалось, что в объеме пористой среды нет ни источников, ни стоков флюида, не происходит химических реакций, ни фазовых переходов т.д. Если это не так, то в правую часть уравнения (2.4) необходимо добавить функцию q, которая будет задавать массу флюида, поступающего (исчезающего) в единицу объема:

.

При этом перед q знак «-» если флюид поступает в объем, и «+» если флюид исчезает из объема.