5. Найти интегралы, для неопределенных интегралов результаты проверить дифференцированием:
а)
Решение:
Проверка:
Ответ:
б)
Решение:
Для
вычисления интеграла воспользуемся
формулой интегрирования по частям:
и формулой Ньютона-Лейбница:
.
Ответ:
в)
Решение:
Вычислим интеграл методом замены переменной.
Проверка:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение:
Построим
фигуру, ограниченную заданными линиями.
Графиком функции
является парабола,
ее ветви направлены вниз. Точка (0;0) –
вершина параболы. Графиком функции
является прямая. Найдем точки пересечения
двух этих линий:
.
По теореме Виета получаем
.
Тогда (2;-4), (-1;-1) – точки пересечения
прямой и параболы.
Ответ:
S
= 4,5 кв.ед.
Формулировки условий задач контрольной работы
Найти область определения функции.
Найти предел функции.
Вычислить производную функции.
Исследовать функцию
и построить ее график,
где a
– номер варианта.Вычислить интегралы, для неопределенных интегралов сделать проверку дифференцированием.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Варианты контрольных работ
Вариант 0
1.
а)
;
б)
2.
а)
б)
в)
г)
3.
а)
;
б)
;
в)
4.
5.
а)
;
б)
;
в)
6.
Вариант 1
1.
а)
;
б)
2.
а)
б)
в)
;
г)
3.
а)
;
б)
;
в)
4.
5.
а)
;
б)
;
в)
6.
Вариант 2
1.
а)
;
б)
2.
а)
б)
в)
г)
3.
а)
;
б)
;
в)
4.
5.
а)
;
б)
;
в)
6.
Вариант 3
1.
а)
;
б)
2.
а)
б)
в)
г)
3.
а)
;
б)
;
в)
4.
5.
а)
;
б)
;
в)
6.
Вариант 4
1.
а)
;
б)
2.
а)
б)
в)
г)
3.
а)
;
б)
;
в)
4.
5.
а)
;
б)
;
в)
6.
Вариант 5
1.
а)
;
б)
2.
а)
б)
в) г)
3. а) ; б) ; в)
4.
5.
а)
;
б)
;
в)
6.
Вариант 6
1.
а)
;
б)
2.
а)
;
б)
в)
;
г)
3.
а)
;
б)
;
в)
4.
5.
а)
;
б)
;
в)
6.
Вариант 7
1.
а)
;
б)
2.
а)
;
б)
в)
;
г)
3.
а)
;
б)
;
в)
4.
5.
а)
;
б)
;
в)
6.
Вариант 8
а)
;
б)
а)
;
б)
в)
;
г)
а)
;
б)
;
в)
а)
;
б)
;
в)
Вариант 9
а)
;
б)
а)
;
б)
в)
;
г)
а)
;
б)
;
в)
а)
;
б)
;
в)
Вопросы к зачету
Понятие функции. Способы задания функций. Примеры. Элементарные функции.
Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства пределов. Частные случаи, возникающие при вычислении пределов.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.
Производная функции её геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность функции.
Производные элементарных функций.
Основные правила дифференцирования.
Дифференциал функции и его использование в приближенных вычислениях. Геометрический смысл дифференциала функции. Производные, и дифференциалы высших порядков.
Правило Лопиталя.
Возрастание и убывание функции. Исследование возрастания и убывания функции с помощью производной.
Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
Выпуклость графика функции. Исследование помощью второй производной.
Точки перегиба.
Асимптоты. Общая схема исследования функций.
Первообразная. Понятие неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла. Табличные интегралы.
Замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям.
Определенный интеграл, его геометрический смысл Формула Ньютона - Лейбница.
Определенный интеграл: задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Математическая модель определенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Геометрические приложения определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции.
Дифференциальные уравнения: основные понятия. Виды решений. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Список рекомендуемой литературы
Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. М: Наука, 1991
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М: Высшая школа, 2001
Валуцэ И.И. Математика для техникумов. М: Наука, 1990
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М: Росткнига, 2001
Кравцова В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. В трех томах. Том 1. Гриф МО РФ. Физматлит, 2008. 672с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В трех томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Гриф МО РФ. Дрофа, 2006. 704 с.
Пехлецкий И.Д. Математика. М: Мастерство, 2001
Подольский В.А.и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. М: Высшая школа, 1999
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. Гриф МО РФ. Физматлит, 2007. 680 с.
Шипачев В.С. Математический анализ: Теория и практика. Учебник для ВУЗов. Дрофа, 2006. 352 с.