Свойства определителей:

• При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

•   Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

• То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц.

• Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

• Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

• Определитель с двумя равными строками равен нулю.

• Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

• Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

• Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

•  Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

• Определитель произведения матриц равен произведению определителей:

Билет №2 (2)

Точка и ее координаты

на плоскости

Точка и ее координаты

в пространстве ;

Расстояние между двумя точками: (доказательство из Теоремы Пифагора)

Уравнение линии. Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат называется уравнение , которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии.

Уравнение – уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

Дана прямая , которая пересекает оси координат и не параллельна ни одной из них. Пусть угол наклона к положительному направлению оси Ox равен . Угол отсчитывается от Ox против часовой стрелки – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Точка пересечения с Oy – .

Пусть – произвольная точка . Рассмотрим . Он прямоугольный и имеет острый угол . Найдем (отношение противолежащего катета к прилежащему). Обозначим через . Имеем: или , – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Частные случаи:

1)    , – уравнение прямой, параллельной оси Ох и отстоящей от нее на ;

2)    , – прямая проходит через начало координат;

3)    , – уравнение оси Ox;

4)    – уравнение прямой, параллельной оси Oy и отстоящей от нее на ;

5)    – уравнение оси Oy;

6)    – уравнение биссектрисы I и III координатных углов;

7)    – уравнение биссектрисы II и IV координатных углов.

Общее уравнение прямой:

где A, B и C – коэффициенты, одновременно не равные нулю.

В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, – прямая проходит через начало координат

А = 0, {By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох

В = 0, {Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, – прямая совпадает с осью Ох

Расстояние от точки до прямой:

Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

(1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой.

            Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа.

 Векторно-параметрическое уравнение прямой:

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор (см. рис. 4.11).

В координатах (параметрические уравнения):

Уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки и

Билет №5(2)

Взаимное расположение прямых на плоскости:

• Две прямые на плоскости могут совпадать.

Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки. Действительно, в силу аксиомы, озвученной в предыдущем пункте, через две точки проходит единственная прямая. Иными словами, если через две заданные точки проходят две прямые, то они совпадают.

• Две прямые на плоскости могут пересекаться.

В этом случае прямые имеют одну общую точку, которую называют точкой пересечения прямых. Пересечение прямых обозначают символом « », к примеру, запись означает, что прямые а и b пересекаются в точке М. Пересекающиеся прямые приводят нас к понятию угла между пересекающимися прямыми. Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются перпендикулярными (рекомендуем статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Если прямая a перпендикулярна прямой b, то можно использовать краткую запись .

• Две прямые на плоскости могут быть параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна прямой b, то используют символическое обозначение .

Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число , что , но . Прямые совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:

Взаимное расположение прямой и плоскости:

Рассмотрим плоскость и прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая пересекает плоскость в некоторой точке ;

2. прямая параллельна плоскости: ;

3. прямая лежит в плоскости: .

Аналитические условия:

Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор  не ортогонален вектору нормали  плоскости. 

Из утверждения следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: .

Если же данные векторы ортогональны, то есть если их скалярное произведение равно нулю: , то прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней:

• Если прямая параллельна плоскости, то точка  (а, значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости: .

• Е сли прямая лежит в плоскости, то точка  (а, значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) удовлетворяет уравнению плоскости: .

Угол между прямой и плоскостью:

это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Билет №9(2)

Плоскость и прямая в пространстве:

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z Ax + By + Cz +D = 0

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена этим уравнением которое называется уравнением плоскости.

Неполные уравнения плоскости.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение называют неполным.

1)       D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2)       А = 0 – n = {0,B,C} Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3)       В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4)       С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5)       А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6)       А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7)       B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8)       А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9)       B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10)    C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11)    A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12)    A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13)    B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным (то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

называемому уравнением плоскости в отрезках.

Угол между плоскостями:

Если две плоскости (α₁ и α₂) заданы общими уравнениями вида:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n₁={A₁,B₁,C₁) и n₂={A₂,B₂,C₂). Тогда

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

Условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки , которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:

Если плоскость задана общим уравнением , то вектор   является вектором нормали данной плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору  , выражается формулой:

Расстояние от точки  до плоскости  выражается формулой