142 Определение дифференцируемой в точке функции

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке)

141 Определение нормаль

Нормаль — это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.).

140 Определение касательной

Каса́тельная пряма́я в математическом анализе — прямая, проходящая через точку графика функции и имеющая такой же наклон.

• Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки  , идифференцируема в ней:  . Касательной прямой к графику функции   в точке  называется график линейной функции, задаваемой уравнением

• Если функция   имеет в точке   бесконечную производную   то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

139 Геометрический смысл производной

Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

138 Определение производной функции одной переменной

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, (включая саму эту точку).

Если существует предел отношения приращения функции Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) к вызвавшему его приращению аргумента Δx, когда Δx → 0, то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом f '(x0), т.е.

f '(x0) = lim, гдеΔx → 0 Δy/Δx = lim, где Δx → 0 f(x0 + Δx) − f(x0)/Δx .

137 Определение эквивалентных бесконечно малых

Б.м. функции   и   называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при  , если 

Обозначают:   при  .

136 Определение несравнимых функций

. Если   не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

135 Определение бесконечно малых одного порядка

 Если  =А 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

134 Определение бесконечно малой более высокого порядка

Если,  =0, то α называется бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

133 Вторая теорема Вейерштрасса вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения).

132 Первая теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем.

131 Теорема Коши (о промежуточных значениях функции)

 Если функция f непрерывна на отрезке [а, b] и  , то для каждого значения С, заключенного между f(а) и f(b), найдется точка K [а, b] такая, что f(K) = С.

130 Теорема Больцано-Коши (о нуле функции)

это утверждение, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка Пусть дана непрерывная функция на отрезке   Пусть также   и без ограничения общности предположим, что   Тогда для любого  существует   такое, что 

Следствия  (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное иотрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть   и   Тогда   такое, что 

В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;