Лабораторная работа № 1 Преобразование геодезических координат при переходе к новому эллипсоиду

Картезианская (прямоугольная пространственная) земная система отсчета привязана к телу Земли и задается началом системы координат и направлениями ее осей. Для получения геодезических координат систему дополняют параметрами эллипсоида, образуя таким образом геодезические координаты. В общем случае, референц-эллипсоиды или общие земные эллипсоиды разных систем координат имеют различные значения больших полуосей, сжатий, взаимно смещены и повернуты. Поэтому глобальные, региональные и локальные системы отсчета могут иметь различные геодезические координаты (рис. 1), Вследствие этого в практике геодезических и маркшейдерских работ возникают задачи перехода от одной системы координат к другой, особенно при использовании спутниковых навигационных систем.

Рис. I

Задание

1. Преобразовать геодезические координаты точки Р с эллипсоида Красовского на эллипсоид WGS-84.

2. Выполнить контроль решения путем обратного преобразования полученных геодезических координат точки Р от эллипсоида WGS-84 к эллипсоиду Красовского. При этом знаки величин АХ, А У, AZ необходимо изменить на противоположные.

3. Сравнить полученные координаты.

Исходные данные

Параметры 1-го эллипсоида (эллипсоид Красовского):

большая полуось а = 6378245, полярное сжатие а = 1/298,3.

Параметры 2-го эллипсоида (эллипсоид WGS-84):

большая полуось а - 6378137, полярное сжатие α=1/298,257.

Смещение центра 1-го эллипсоида относительно центра 2-го эллипсоида - ΔХ, ΔУ, ΔZ.

Для эллипсоида Красовского относительно эллипсоида WGS-84 можно принять (в метрах):

(предполагается, что одноименные оси прямоугольных систем координат параллельны).

Координаты точки Р на эллипсоиде Красовского:

широта B_kra, - 54°40' 1+n",

долгота L_kra - 50°30' 1+n",

высота Н _kra – 100+5 х n (м),

где п - номер варианта.

Порядок выполнения работы

1. Вычисляем прямоугольные пространственные координаты точки Р (X, У, Z)ъ системе эллипсоида Красовского:

X_kras = (N + H) cosB cosL

Y_kras = (N + H) cosB sinL

Z_kras = (N + H – Ne²) sinB

где N - радиус кривизны эллипсоида в плоскости первого вертикала.

N =

где е² - квадрат эксцентриситета эллипсоида.

е² = 2α- α².

3. Вычисляем прямоугольные координаты точки Р относительно центра эллипсоида WGS-84:

X_WGS-84= X_kras + ΔX

Y_WGS-84= Y_kras + ΔY

Z_WGS-84= Z_kras + ΔZ

4. Вычисляем геодезические координаты точки Р относительно центра эллипсоида WGS-84. Геодезическая долгота вычисляется непосредственно по формуле:

L = arctg

Для вычисления геодезической широты используем метод последовательных приближений:

tg B⁽ⁱ⁾ = C₁ + C₂

где С₁ и C₂ - некоторые постоянные, не меняющиеся в процессе приближений:

В первом приближении полагаем:

tg B⁽⁰⁾ = C₁ =

После последовательных приближений, когда абсолютное значение разности |В^(i-1) – B⁽ⁱ⁾| станет меньше некоторой наперед заданной величины, т.е.

|tgВ^(i-1) – tgB⁽ⁱ⁾| ≤ ε

где е - достаточно малая величина, равная, например, 10^-10

После нахождения широты методом последовательных приближений вычисляем геодезическую высоту из соотношения:

H =

где В^(k) и N^(k) - значения геодезической широты и радиуса кривизны, полученные в последнем приближении.

Примечание. Для достижения необходимой точности преобразований необходимо все вычисления выполнять с не менее чем 10 знаками после запятой.

Пример

Преобразовать геодезические координаты точки Р с эллипсоида Красовского на эллипсоид WGS-84.

Координаты точки Р (исходные данные в зависимости от номера вариан­та):

B_kra, - 54°40' 00",

L_kra - 50°30' 00",

Н _kra – 100 (м),