Представление числовой информации в двоичной и восьмеричной системах счисления Теоретические сведения

1. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления имеет особую значимость в информатике. Это определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0, 1).

Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5₁₀, в двоичной 10₁₂. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b (b – binary), например 0b101.

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101₂ произносится «один нуль один».

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

…

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

Все цифры двоичного числа умножаются на основание системы счисления, т.е. на два, возведенное в соответствующую степень. Затем полученные произведения складываются. Полученная в результате сумма и будет десятичной записью преобразуемого двоичного числа.

Приведем пример:

Допустим, дано двоичное число 110001₂. Для перевода в десятичное запишем его как сумму по разрядам следующим образом:

1 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 49₁₀;

То же самое чуть иначе:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 32 + 16 + 0 + 0 + 1 = 49₁₀;

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

…	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
					1	1	0	0	0	1
					+32	+16	+0	+0	+0	+1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей запишем её эквивалент в строчке ниже. Сложим получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110001₂ равнозначно десятичному 49₁₀.

Преобразование дробных чисел. Допустим, нужно перевести число 1011010,101₂ в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ + 1 * 2^-1 + 0 * 2^-2 + 1 * 2^-3 = 90,625₁₀

То же самое чуть иначе:

1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625₁₀

Или по таблице:

…	64	32	16	8	4	2	1	0.5	0.25	0.125	…
	1	0	1	1	0	1	0.	.1	0	1
	+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0	+0.5	+0	+0.125

Преобразование десятичных чисел в двоичные. Допустим, нам нужно перевести число 19₁₀ в двоичное. Можно воспользоваться следующей процедурой:

19 /2 = 9 с остатком (1)

9 /2 = 4 c остатком (1)

4 /2 = 2 без остатка (0)

2 /2 = 1 без остатка (0)

1 /2 = 0 с остатком (1)

Итак, мы делим исходное число и каждое частное на 2 с остатком и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т.д. В результате получаем число 19₁₀ в двоичной записи: 10011₂.

Стоит заметить, что в приведенном примере предпоследний результат деления 2 на 2 = 1 с остатком 0 можно больше не делить на 2, а просто записать его как последний остаток, т.к. дальнейшее выполнение процедуры не будет иметь смысла. Таким образом, можно сформулировать следующее правило – если полученное на каком-либо шаге частное меньше основания системы счисления (в данном случае меньше 2) – завершать процедуру преобразования и записывать его как первый знак получаемого числа.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные. Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

1. Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);

2. В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;

3. Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206₁₀=11001110₂ по ранее описанному алгоритму. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

0,116 • 2 = 0,232

0,232 • 2 = 0,464

0,464 • 2 = 0,928

0,928 • 2 = 1,856

0,856 • 2 = 1,712

0,712 • 2 = 1,424

0,424 • 2 = 0,848

0,848 • 2 = 1,696

0,696 • 2 = 1,392

0,392 • 2 = 0,784

и т. д.

Таким образом 0,116₁₀ ≈ 0,0001110110_2. Получим: 206,116₁₀ ≈ 11001110,0001110110₂