10. Вариант

1. Определите процент наращенной суммы за три года, если первые полгода годовая ставка простых процентов равна 12%, а каждые остальные полгода увеличивается на 3%. Посчитайте ту же величину в случае сложных процентов.

2. Вам обещают 3,7% за 100 дней. Сколько это составит годовых при простой и сложной схеме начисления процентов?

3. 15.02 учтен вексель сроком погашения 25.07. Вычислите номинальную стоимость векселя при простой учетной ставке 11%, если должник получил 10000 р.

4. 1 марта года были учтены по простой учетной ставке 8% следующие векселя: 30 000 руб., срок погашения – 25.06., 35 000 руб., срок погашения – 10.07. и вексель сроком погашения 15.09. Какова номинальная стоимость третьего векселя, если дисконтированная величина всех трех векселей 80000 руб.

5. В ходе судебного заседания выяснилось, что по вине Пенсионного фонда г. N в течение 5 лет недоплачивали 200 руб. пенсии ежемесячно. Суд обязал фонд выплатить все недоплаченные деньги с процентами (12% годовых). Какова сумма выплаты?

6. Ссуда, выдана на 6 лет под 15% годовых в размере 150000 руб., которую следует гасить равными выплатами основного долга. Заполните таблицу.

   	1	2	3	4	5	6
   Выплаты по основному долгу
   Процентные деньги
   Сумма выплат
   Остаток основного долга

7. Магазин продает телевизоры в рассрочку на 1 год. Сразу же к цене телевизора $700 добавляют 15% и всю эту сумму надо погасить в течение года, причем стоимость телевизора гасится равномерно, а надбавка по «правилу 78». Найдите ежемесячные выплаты.

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 1. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов по простой ставке: первый год – по годовой ставке 10%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 2%. Определите множитель наращения за 2,5 года. Посчитайте ту же величину в случае сложных процентов.

Решение. В случаи начисления простых процентов процент каждый раз начисляется на первоначальную сумму. За первый год сумма увеличится на 10% и составит 1,1 от первоначальной. В следующем полугодии ставка процента составит 12% годовых и за полгода увеличит сумму на 6%. Таким образом, за полтора года сумма увеличится в 1,16 раз. К концу второго года сумма возрастет еще на и увеличится в 1,23 раза от первоначальной. И за последнее полугодие начислят еще . Сумма возрастет в 1,31 раз.

В случае начисления сложных процентов процент начисляется на промежуточную сумму, поэтому множитель наращения за 2,5 года будет равен:

Ответ: Множитель наращения за 2,5 года равен 1,31 в случае простых процентов и 1,3387 при начислении сложных процентов.

Задача 2. При какой ставке сложных процентов за 5 лет сумма удваивается?

Решение. Пусть первоначальная сумма составляла Р. За 5 лет при начислении сложного процента i сумма увеличится в раз и должна стать равна 2∙Р. Имеем уравнение:

Решаем:

Ответ: За 5 лет сумма удваивается при ставке 14,87% годовых.

Задача 3. Какую сумму следует проставить в векселе, если выдается ссуда в размере 70 000 на два года? В контракте предусматривается простая годовая учетная ставка 20%.

Решение. Учетная ставка (ее обычно обозначают d) применяется при учете векселей. Она начисляется на будущую сумму и из нее вычитается. В случае простых процентов:

В задаче нам известна сумма, которая будет выдана в настоящий момент, и надо найти сумму, которую получит владелец векселя, то есть номинал векселя. Подставив известные значения, получаем:

Ответ: Номинал векселя равен 116 6666,7.

Задача 4. Для погашения долга величиной 100 000 р. со сроком погашения 15.01. были выписаны следующие векселя: один на сумму 15 000 р. со сроком погашения 1.04., второй на сумму 25 000 сроком погашения 5.07 и вексель со сроком погашения 10.09. Найдите номинальную стоимость этого векселя при простой учетной ставке 10% годовых.

Решение. Обозначим номинал третьего векселя N. Приведенная стоимость всех векселей с учетом срока погашения по простой учетной ставке 10% годовых в сумме должна совпасть с величиной долга. Имеем уравнение:

Решаем:

.

Ответ: Номинал третьего векселя равен 65757,82.

Задача 5. Семья хочет через 6 лет купить дачу за $12000. Какую сумму (одинаковую) ей нужно каждый год из этих 6 лет добавлять на свой счет в банке, чтобы накопить требуемую сумму, если годовая ставка процента в банке 8%?

Решение. Так как выплаты равные и через равные промежутки времени, то платежи образуют конечную годовую ренту. Наращенная величина этой ренты должна быть равна $12000. Обозначим выплаты R. По условию n = 6, i = 8%.

Имеем уравнение:

Решаем:

Ответ: Каждый год следует добавлять на счет $1635,77.

Задача 6. Ссуда, выдана на 5 лет под 10% годовых в размере 100000 руб., которую следует гасить равными годовыми выплатами. Заполните таблицу.

	1	2	3	4	5
Выплаты по основному долгу
Процентные деньги
Сумма выплат
Остаток основного долга

Решение. Выплаты по ссуде равные, поступают через равные промежутки времени, поэтому они образуют конечную годовую ренту, современная величина которой совпадает с суммой долга. Размер этих выплат можно найти из уравнения:

Решаем:

В таблице эта сумма составляет сумму выплат за каждый год. Каждый год начисляется 10% за непогашенный остаток – это процентные деньги. В первый год 10% от 100000 – 10000 и т.д. Разность между суммой выплат и процентными деньгами – это выплаты по основному долгу. Остаток основного долга получаем как разницу между остатком долга в предыдущий год и суммой выплат по основному долгу в текущем году. Имеем таблицу:

	1	2	3	4	5
Выплаты по основному долгу	16379,75	18017,72	19819,5	21801,44	23981,59
Процентные деньги	10000	8362,025	6560,253	4578,303	2398,159
Сумма выплат	26379,75	26379,75	26379,75	26379,75	26379,75
Остаток основного долга	83620,25	65602,53	45783,03	23981,59	0

Задача 7. На покупку дачного домика взят потребительский кредит 400000 руб. на 6 лет под 10 простых процентов. Его нужно погашать равными ежеквартальными выплатами. Найдите размер этой выплаты. Найдите ставку сложных процентов, при которой современная величина потока выплат будет равна номинальной величине кредита.

Решение. По потребительскому кредиту сразу начисляется простой процент. Сумма выплат будет равна:

400000∙(1+0,1∙6)=640000

Так как выплаты ежеквартальные, всего их будет 24. Значит, размер каждой выплаты составит:

Найдем ставку сложных процентов, при которой современная величина потока выплат будет равна номинальной величине кредита. Имеем уравнение:

где j – процент за квартал.

Такое уравнение можно решить приближенными методами или используя таблицу коэффициентов приведения ренты.

Подбирая, получим . Это процент за квартал. Посчитаем годовой процент по сложной процентной ставке:

/

То есть, если бы брали обычный кредит в банке в размере 400000 на 6 лет, и ежеквартальные выплаты составили 26666,67, значит, банк назначил 17,7% годовых.

Ответ: Каждая выплата составит 26666,67; ставка процента 17,7% годовых.