Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

,

то точка   называется точкой устранимого разрыва функции   .

Точки разрыва первого и второго рода

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;

• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

18 Св-ва непрерыв. на отрезке функций

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке   выполняется условие -  .

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке  , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения   и  , что  , причем  Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке  , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция   непрерывна в точке  , то существует некоторая окрестность точки  , в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция   - непрерывная на отрезке   и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где  .

Т.е. если  , то  .

Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Свойство 7: Если функция   определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция   тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

19 Асимптоты к графикам Функции и их способы нахождения

• Прямая   называется вертикальной асимптотой графика функции  , если хотя бы одно из предельных значений   или   равно   или   .

• Прямая   называется горизонтальной асимптотой графика функции  , если хотя бы одно из предельных значений   или   равно   .

• Прямая   называется наклонной асимптотой графика функции  , если

Порядок нахождения асимптот

1.) Нахождение вертикальных асимптот.  2.) Нахождение двух пределов    3.) Нахождение двух пределов  :

если   в п. 2.), то  , и предел   ищется по формуле горизонтальной асимптоты,  .

Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция  .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

.

При    ,    ,   то есть:

,

и   является искомым уравнением асимптоты.

20 Производная функции в точке.Ур.касател.,непрер.

Производной функции   в точке   называется предел отношения приращения функции   к соответствующему приращению аргумента  , при условие, что  .( )

Геометрический смысл производной:

Производная   в точке   равна угловому коэффициенту касательной к графику функции   в точке, абсцисса которой равна  .

Иными словами Производная функции   в точке   равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной и нормали к линии в точке

У равнение касательной:

.

Уравнение нормали:

Непрерывность функции, имеющей производную..

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–< х < ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

21Правила нахожд. производ. суммы

Правило 1. Если функции у = f(х) и у = g(х) имеют, производную в точке х, то и их сумма имеет производную в точке х, причем производная суммы равна сумме производных: (f(х) + 8(х))' =f (х)+ (х). На практике это правило формулируют короче: производная суммы равна сумме производных. Например,  Правило 2. Если функция у = f(х) имеет, производную в точке х, то и функция у = кf(х) имеет производную в точке х, причем:

На практике это правило формулируют короче: постоянный множитель можно вынести за знак производной. Например,

Правило 3. Если функции у=f(х) и у =g(х) имеют производную в точке х, то и их произведение имеет производную в точке х, причем:

На практике это правило формулируют так: производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых. Первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции. Например:  Правило 4. Если функции у = f(x) и у=g(х) имеют производную в   то и частное   имеет производную в точке х, причем:

таблица сложных производных

22 Диффир. функц. в точке

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy(x0,Δx) может быть представлено в виде

Δy(x0,Δx)=AΔx+o(Δx).

Главная линейная часть AΔx приращения Δy называется дифференциалом этой функции в точке x0, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом dy(x0,Δx).

Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f′(x0), при этом справедливо равенство A=f′(x0).

Выражение для дифференциала имеет вид

dy(x0,dx)=f′(x0)dx,

где dx=Δx.

23 Производ. Слож. Функц

Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически

Пусть y – сложная функция x, т.е. y = f(u), u = g(x), или

              

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

           

Производная функции заданной параметрически.

. 

.

24 Произв и диффер. Высш.порядк

Пусть теперь производная  -го порядка   определена в некоторой окрестности точки   и дифференцируема. Тогда

Если функция   имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от    может иметь в некоторой точке   частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции   эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

  или  

  или  

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции    в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

  .

Для функции, зависящей от одной переменной    второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции   :

25 Теоремы Ферма, Ролля, Лангража

• Теорема Ферма: Пусть функция   определена на   и достигает своего наибольшего и наименьшего значения (M и m) в некоторой   из  . Если существует производная   в  , то она обязательно равна 0.

Доказательство: Существует  . Возможны два случая:

1) , =>  , => .

2) , =>  , => .

Из 1) и 2) следует, что 

• Теорема Ролля (о корнях производной): Пусть функция   непрерывна на   и дифференцируема на   и на концах отрезка принимает одинаковые значения:  . Тогда существует хотя бы одна точка   из  , производная в которой  .

• Доказательство: Непрерывная   достигает на   M и m. Тогда возможны два случая:

1) , =>

2)  наибольшее значение достигается внутри интервала   по теореме Ферма.

• Теорема Лангража (о конечных приращениях): Пусть функция   непрерывна на   и дифференцируема на  . Тогда существует хотя бы одна   из  , для которой выполняется следующее равенство:  .

Доказательство: Введем функцию  . (непрерывная на   и дифференцируемая на  ).

Функция   удовлетворяет Теореме Ролля   существует  , для которой:  ,  , , .

26 Правила Лопиталя.

Теорема Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Теорема Лопиталя:

1.  либо  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности  ;

3.  в проколотой окрестности  ;

4. существует  ,

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

Формулировка правила Лопиталя cледующая:

Если  , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки  , то 

27 Монотон.диффер.высш.функц.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Пусть дана функция   Тогда

• функция   называется возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется убыва́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го убыва́ющей на  , если

.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

• если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

• если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• решить неравенства   и   на области определения;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

28 Направлен.выпукл.функ

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Точка   называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки  , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Достаточные условия перегиба.

• Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке  , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки  . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от  , вторая производная имеет разные знаки, то   является точкой перегиба графика функции.

• Если  , а  , тогда   является абсциссой точки перегиба графика функцииy=f(x).

• Пусть  , а  , тогда если n – четное число, то   является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

29 Первообраз и их множеств.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство   для любого х из заданного промежутка.

Множество всех первообразных

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство  . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается 

 свойства неопределенного интеграла 

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

3 0 Таблица неопред.интегр

Свойства неопределенного интеграла 

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

31 замена перемен.и интегрирование