3. Временные понятия надежности: наработка до отказа, наработка между отказами.

Наработка – это продолжительность или объем работы изделия.

Наработка – это:

 непрерывная величина [продолжительность работы в часах, километраж пробега и т.п.];

• целочисленная величина [число рабочих циклов, запусков и т.п.].

Наработка до отказа – наработка изделия от начала эксплуатации до возникновения первого отказа:

● как для неремонтируемых (невосстанавливаемых);

● так и для ремонтируемых (восстанавливаемых).

Наработка между отказами – наработка изделия от окончания восстановления его работоспособности после отказа до возникновения следующего отказа.

Наработка между отказами определяется продолжительностью (или объемом) работы изделия от k–го до (k+1) –го отказа. (Эта наработка относится только к восстанавливаемым изделиям).

Показатели надежности

Показатель надежности – количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность изделия.

Классификация показателей надежности:

● единичный показатель – характеризует одно из свойств изделия;

● комплексный показатель – характеризует несколько свойств, составляющих надежность изделия;

● расчетный показатель – показатель надежности, который определяется расчетным методом;

● экспериментальный показатель – точечная или интервальная оценка надежности, которая определяется по данным испытаний;

● эксплуатационный показатель – точечная или интервальная оценка, которая определяется по статическим данным эксплуатации;

● экстраполированный показатель – точечная или интервальная оценка надежности определяется на основании результатов расчетов, испытаний или эксплуатационных данных путем экстраполяции (пролонгирования, то есть продолжения среднего значения на будущее время).

4. Основные понятия теории вероятностей, используемые в теории надежности: закон распределения случайной величины, функция распределения, плотность распределения, математическое ожидание (МОЖ), дисперсия, доверительный интервал, доверительная вероятность.

Закон распределения случайной величины – соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Например, закон распределения дискретной случайной величины Х отображается в таблице 1.1 (или рядом распределения):

Таблица 1.1

Xi	X1	X2	X3	…	Xn
Pi	P1	P2	P3	…	Pn

Примечание: рассмотрение некоторых законов распределения случайных величин (например, показателей безотказной работы изделий) вынесено в отдельные подразделы.

Функция распределения F(x) или интегральная функция распределения, или интегральный закон распределения (как прерывных, так и непрерывных) случайных величин:

F(x) = P(X<x),

где количественная оценка распределения вероятностей является не вероятностью события X=x, а вероятностью события Х< х, здесь х – текущая переменная (рис 1.1).

Рис 1.1.

Свойства функции распределения:

F(x) – неубывающая функция, т.е. при x₂>x₁ F(x₂) ≥ F(x₁);

F (– ∞) = 0; F(+ ∞) = 1.

Плотность распределения (или плотность вероятности, или дифференциальная функция распределения, или дифференциальный закон распределения) случайной величины Х с функцией распределения F(x):

характеризует плотность распределения случайной величины (или вероятность попадания) на участке от x до х+∆х, или среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке.

К ривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 1.2).

Рис. 1.2.

Математическое ожидание (МОЖ) есть среднее (или средневзвешенное) значение случайной величины.

Для дискретной случайной величины МОЖ есть сумма средних значений.

M(X) = ,

Для непрерывной случайной величины МОЖ есть интеграл

где f(x) – плотность распределения случайной величины x.

Для дискретной случайной величины X, имеющей значения x₁, x₂, …, x_n с соответствующими вероятностями p₁, p₂, … , p_n, среднее значение (или математическое ожидание):

Дисперсия случайной величины Х есть МОЖ квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания:

то есть

где

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины.

Для наглядности характеристики рассеивания (отклонения от случайной величины в обе стороны) используют величину, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины.

Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень, и полученную величину называют СКО (средним квадратическим отклонением) случайной величины Х:

К вант ли – это интервалы одномерного распределения, попадания в которые имеют равные вероятности.

К вант ли

д ец ли

и процент ли

делят область изменения x соответственно на 4, 10, 100 интервалов.

Обработка опытов

Значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда содержит элемент случайности.

Случайное значение параметра называют оценкой параметра:

● оценкой для МОЖ может служить среднее арифметическое опытных значений случайной величины в n независимых опытах;

● при очень большом числе опытов среднее арифметическое близко к МОЖ.

Доверительный интервал – это интервал значений параметра, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Причем, величина параметра не случайна. Случаен интервал, его положение на оси абсцисс, его длина (т.е. доверительную вероятность в связи с этим трактуют не как вероятность «попадания» параметра в доверительный интервал, а как вероятность того, что доверительный интервал накроет параметр).