2. Линейные балансовые модели

Приведем основные формулы.

Запишем линейную балансовую модель в матричной форме ([2])

, (2.1)

или

,

где ;

, ; ; .

Определение. Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (2.1) балансовой модели (неравенство вида означает, что все элементы этого вектора (матрицы) удовлетворяют этому неравенству ).

Существует несколько критериев продуктивности, приведем некоторые.

Критерий 1. Если и для некоторого положительного вектора уравнение (2.1) имеет решение , то матрица А продуктивна.

Критерий 2. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

Критерий 3. Если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А меньше 1, то А – продуктивна.

Задача 6. Исследовать на продуктивность матрицу:

.

Решение. Учитывая, что

,

имеем

.

Докажем существование С^-1 и найдем обратную матрицу С^-1.

,

значит С^-1 существует.

.

Видно, что все элементы матрицы неотрицательны, значит матрица А продуктивна.

Примечание. В данной задаче подошел критерий № 2. Критерий № 3 – достаточный признак, он не подходит, так как

.

Критерием № 3 можно, например, воспользоваться для определения продуктивности матрицы

.

Здесь сумма элементов каждого столбца меньше единицы, значит матрица А продуктивна.

Задача 7. Пусть экономическая система состоит из 3 отраслей, назовем условно топливно-энергетическая отрасль, промышленность, сельское хозяйство. Пусть

является транспонированной матрицей прямых затрат, – вектор норм добавленной стоимости [2]. Определить:

1. равновесные цены

2. равновесные цены, если произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11 в топливно-энергетической отрасли.

Решение.

1. Определим равновесные цены исходя из формулы [2]:

.

Имеем (проделайте вычисления самостоятельно!):

.

Отсюда

.

2. Теперь по условию задачи . Вычисляя находим

.

Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй – на 3,5%, третьей – 4,17%.

Если знать объемы выпуска, можно подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.

3.Метод множителей Лагранжа.

Пусть требуется решить задачу нелинейного программирования следующего вида:

Функции f(x, y) , g(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными.

Суть метода Лагранжа состоит в построении функции

L(x, y, λ ) = f(x, y) + λ g(x, y).

Функция f(x, y) достигает условного экстремума в точке (x₀, y₀) тогда, когда функция L(x, y, λ) достигает абсолютного экстремума в точке (x₀, y₀, λ₀), существует единственное λ₀ для (x₀, y₀). Они находятся из системы – необходимых условий существования экстремумов:

Далее остается проверить является ли (x₀, y₀ ) точкой экстремума.

Рассмотрим применение изученного метода, а также графического способа решения задачи нелинейного программирования на примере следующей задачи.

Задача 1. Фирма реализует автомобили двумя способами: через магазин и через торговых агентов. При реализации х автомобилей через магазин расходы на реализацию составляют x²+ 8x усл. ед., при продаже у автомобилей через торговых агентов расходы составляют y² усл. ед. Найти оптимальный способ реализации автомобилей, минимизирующий суммарные расходы, если необходимо продать 100 автомобилей.

Решение. Первый способ – метод Лагранжа.

Составляем математическую модель:

R = 8x + x² +y² → min,

Функция Лагранжа имеет вид:

L(x, y, λ) = 8x + x² + y² + λ (100-x-y).

Запишем систему – необходимые условия существования экстремумов:

Исключим λ из первых двух уравнений, тогда

Получим x = 48, y = 52, значит (48; 52) – стационарная точка.

Проверим достаточное условие существование экстремума в точке (48, 52):

L˝xx · L˝xy – (L˝xy)² = 2· 2 –0² 4 > 0,

значит экстремум существует.

Из условия L˝_xx = 2 > 0 получаем условный минимум, причем

R(48,52) = 5392 усл. единиц

Решение. Второй способ – графический метод.

Областью допустимых решений является отрезок АВ (Рис.1), линиями уровня функции

R(x, y) = x² + 8x + y² = (x + 4)² + y² - 16

являются концентрические окружности

(x + 4)² + y² = C²

c центром (-4, 0) и радиусом С.

Рис. 1. Графическое решение.

Минимальное значение R достигается в точке касания отрезком АВ концентрической окружности , т.е. совпадают угловой коэффициент к=-1,

y = – x+100, и значение тангенса угла касательной к окружности в точке Е, т.е. производная y´(x) в точке Е: y´(x)= - 1.

Найдем производную y´(x) уравнения окружности в неявной форме

Отсюда

x = 48, y = 52.

Ответ: оптимальный способ реализации – через магазин 48 автомобилей, через торговых агентов 52 автомобиля.