Какие уравнения называются нелинейными?
Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
,
где
функция
нелинейная:
– нелинейная алгебраическая функция вида
;
– трансцендентная функция (тригонометрическая, обратная тригонометрическая, логарифмическая, показательная или гиперболическая функция);
– функция, полученная комбинированием этих функций.
Из каких этапов состоит процесс приближенного решения нелинейных уравнений?
Процесс решения нелинейных уравнений предполагает реализацию двух этапов:
1) отделения корней нелинейных уравнений;
2) уточнения корней нелинейных уравнений.
Что такое корень уравнения f(x) = 0 и как он определяется графически?
Исходя
из уравнения f(x)
= 0, можно
построить график функции 
.
Тогда точка пересечения графика с осью
абсцисс является приближённым значением
корня. Если функция
имеет
сложный вид, то её можно представить в
виде разности двух функций 
.
Так как
,
то
выполняется равенство 
.
Изложите основные методы отделения корней уравнения.
Во-первых, приближенное значение корня иногда бывает известно из физического смысла задачи. Во-вторых, для отделения корней может использоваться графический способ, основанный на построении графика функции y = f(x), где приближенные значения действительных корней уравнения f(x) = 0 соответствуют абсциссам точек пересечения или касания графика с осью 0x (y = 0).
Как определяется погрешность вычислений при уточнении корней нелинейных уравнений?
Методы определения погрешности:
1. Метод половинного деления
2. Метод хорд
3. Метод Ньютона (касательных)
4. Метод простой итерации
При каких условиях можно найти корень уравнения методом половинного деления?
Для этого метода существенно, чтобы функция f(x) была непрерывна и ограничена в заданном интервале [a, b], внутри которого находится корень. Предполагается также, что значения функции на концах интервала f(a) и f(b) имеют разные знаки, т.е. выполняется условие f(a)f(b) .
7. Какие требования предъявляются к методам уточнения корней нелинейных уравнений?
8. Определите условия завершения итерационных процессов в методах уточнения корней нелинейных уравнений.
9. Как осуществляется выбор начальных приближений корней в методах хорд, касательных и простой итерации?
10. Почему метод хорд является более быстрым, чем метод половинного деления?
Метод половинного деления:
Один из простых способов поиска корней функции одного аргумента.
Применяется для нахождения значений действительно-значной функции, определяемому по какому-либо критерию (это может быть сравнение на минимум, максимум или конкретное число).
Метод хорд
Передвигает по направлению к корню только одну границу, а комбинированный метод даже при высоком доверии к методу хорд передвигает и вторую границу, обеспечивая лучшие условия для работы метода хорд, а значит - для ещё большего доверия к нему.
11. Проведите сравнение методов уточнения корней уравнений по скорости сходимости, универсальности и сложности реализации.
Достоинством метода Ньютона является его быстрая сходимость по сравнению с методом простых итераций.
Скорость сходимости значительно выше в методе касательных: в методе касательных условие сходимости выполнилось на 3- м шаге, а в методе хорд на 5-м.