Дискретизация (Sampling)
Рассмотрим сигнал во времени:
Дискретизованный сигнал задаётся в отсчётах (Samples):
Из отсчётов можно при определённых условиях восстановить исходный сигнал.
Допустим, нам известен такой спектр:
Раз исходный сигнал вещественный, то спектр его симметричен относительно нуля.
Задача: найти спектр дискретизованного сигнала.
,
где
–
функция стробирования, которую мы должны
найти.
Рассмотрим прямоугольный сигнал такого вида:
Спектр прямоугольного сигнала:
Спектр периодической функции линейчатый; спектр одиночного сигнала непрерывный.
Изображая спектр, необходимо брать модуль (т.е. отражать отрицательные участки относительно горизонтальной оси):
При дискретизации мы имеем много импульсов (и соответственно точек) дискретизации:
Если у нас одна точка:
и
;
Если у нас много точек, используем «гребенчатую» функцию (размерность – Гц):
.
Находим спектр «гребенки».
Раз она периодическая, – разложим её в ряд Фурье.
Функция должна быть периодической, т.к. нам нужно взять от неё интеграл.
,
частота дискретизации (коэффициенты
ряда Фурье).
В пределах одного периода это δ-функция.
Дальше всё просто:
=
(1)
мы знаем, а
Продолжим:
(1)
=
!
Спектр дискретизованной функции почти ничем не отличается от спектра обычной функции.
fN – частота Найквиста (Nyquist)
Мы наблюдаем т.н. aliases – сдвинутые копии исходного спектра. Таким образом, спектр дискретизованного сигнала – это размноженный по полосе частот спектр непрерывного сигнала.
1-ая зона Найквиста – т.н. base band (ОПЧ, основная полоса частот).
Любая частота из другой зоны попадает в ОПЧ путем сложения «гармошкой» (это механизм трансляции высокочастотных областей в ОПЧ).
Получается наложение спектральных компонент: невозможно отличить, какие отсчёты относятся к каким частотным компонентам. Это можно видеть на примере двух синусоид с разными частотами:
Воспринимается сигнал с низшей частотой.
Восстановление аналогового сигнала по дискретным выборкам
Восстановление сводится к удалению спектральных компонент, всех кроме лежащих в ОПЧ (не обязательно до fN, в зависимости от картины в ОПЧ) с помощью фильтра низких частот (ФНЧ).
В 1933 году в работе «О пропускной
способности эфира и проволоки в
электросвязи» Котельников сформулировал
следующую теорему: «Любую функцию f(t),
состоящую из частот от 0 до fc,
можно непрерывно передавать с любой
точностью при помощи чисел, следующих
друг за другом через
секунд».
В некоторых случаях возникают сложности в восстановлении сигнала:
1. Перекрытие спектров
Нельзя отфильтровать нужный участок спектра, т.к. на границе появятся высокочастотные колебания, которых не было в исходном спектре.
2. Практически не ограниченный спектр
В таком случае сложно подобрать подходящий ФНЧ.
Также проблема может возникнуть в неидеальности фильтра.
Фильтр с идеальным срезом – brick wall; но для его получения необходимо иметь бесконечное число точек – отсчётов. Если это число конечно, обязательно будет наклон, в большей или меньшей степени.
Чтобы в таком случае не было перекрытий,
необходимо, чтобы выполнялось условие
(fMAX у спектра
всегда есть, когда он ограничен).