Основные математические модели для показателей надежности.

Наблюдая во времени за функционированием объекта, можно в некоторый момент времени зафиксировать его отказ.

Т – случайная величина – основное допущение модели.

Объект – это некоторое целое, характеризующееся с точки зрения надежности, вероятностными свойствами величины Т, которая характеризуется функцией распределения F(t) .

Выберем момент времени t, на интервале 0 ÷ t объект может быть работоспособен, либо в состоянии отказа. Вероятность того, что на (0;t) объект будет находиться в работоспособном состоянии:

;

Функция Р(t) называется функцией надежности.

Задаваясь величиной интервала, можно найти вероятность того, что объект на этом интервале будет работоспособен.

F(t) – вероятность того, что на интервале (0;t) объект откажет. F(t) – функция надежности.

Можно определить локальные свойства надежности:

– частота отказа (плотность распределения).

Частота отказа – вероятность того, что объект откажет на единичном интервале в окрестности точки t

– вероятность того, что на интервале ∆t в окрестности точки t произойдет отказ. _.

Интенсивность отказов – условная вероятность отказа объекта на единичном интервале времени в окрестности точки

Это обобщенная характеристика, описывающая особенности надежности всей системы.

1-ый участок обусловлен наличием дефектов изготовления, дефектами материалов (нужно выполнять отладочные работы).

Эксплуатации (в идеале) соответствует λ – const (математические модели надежности резко упрощаются).

- экспоненциальный закон.

Для сложных изделий:

Вид λ – характеристики позволит выявить технологические недоработки (всплески) в местах, где λ должна быть постоянной.

Средняя наработка на отказ:

- средняя наработка на отказ (математическое ожидание).

, где

Если задано λ(t) = const, то F(t) = 1 – e^-λt , m = 1/λ

Лекция № 5 Методы расчета показателей надежности с применением структурных схем надежности

При выборе метода расчета исходят из того, можно ли считать данную систему как восстанавливаемую, или же она не восстанавливаемая (построена из невосстанавливаемых элементов).

Классическим примером перехода от объяснительной модели к расчетной для невосстанавливаемых систем служит использование аппарата булевой алгебры.

1. Пусть объяснительная схема функционирования системы представляет собой структурную схему (а также алгоритмы, процедуры, реализуемые в процессе функционирования, особенности информационного обеспечения функционирования, особенность построения программно- технологического обеспечения системы).

. На основе представления о функционировании системы, проектировщик выделяет в структурной схеме набор элементов (базовые элементы), работоспособность которых обеспечивает работоспособность всей системы. Такому набору элементов в расчетной схеме надежности (структурная схема надежности ССН) ставят в соответствие булеву функцию F(х₁, х₂, …х_n), в которой x_i соответствует i - му элементу и принимает значение 1 при работоспособном состоянии элемента. Функция F(х₁, х₂, …х_n) принимает значение 1, если система работоспособна. При построении ССН используют два основных вида соединения базовых элементов:

1. Последовательное соединение, которое описывается коньюкцией булевых переменных – x₁&x₂&…&x_n. Используя допущение о независимости отказов, для функции надежности системы получают выражение:

Р_∑(t) = P₁(t) P₂(t) P₃(t) P₄(t).

Визуальное представление ССН изображено на рис

2, Параллельное соединение, которое описывается дизъюнкцией переменных - x₁٧x₂٧…٧x_n. В этом случае предварительно вычисляют функцию ненадежности системы как произведение функций ненадежности составляющих элементов.

Используя закон де Моргана , запишем

_{Затем находят функцию надежности системы: P∑ (t) =1- Q∑ (t), где Q∑ (t) = F∑ (t).}

_{3. При последовательно-параллельном соединении - разбивают схему на участки, так чтобы все участки были соединены последовательно. Для каждого участка находят функцию надежности, применяя правила 1 и 2. Общий показатель надежности определяют по пункту 1.}

В общем случае, структурная схема надежности, представляет собой произвольное соединение элементов системы. Расчетчик пытается сначала выполнить преобразование полученной ССН, с тем, чтобы, в конечном счете, привести ее к последовательно-параллельному соединению элементов.

Способы преобразования ССН

Разложение ССН по « базовым элементам».

Если в ССН имеются элементы («базовые элементы»), устранение которых позволяет преобразовать ССН к последовательно-параллельной форме, то можно применить следующую процедуру.

Теоретическая основа этого метода – теорема о разложении логической функции, зависящей от n-элементов, по одной( или нескольким) переменным. F(x₁, x₂, …..х_i,…..х_n) = х_iF(x₁, х₂, …x_i-1,1,x_i+1,…..x_n)

V F(х₁, х₂, ….0,…..х_n).

Простой иллюстрирующий пример:

Х₃ мешает, его выбираем в качестве базового, по нему разлагаем логическую функцию:

F (х₁, …..х₅) = х₃F(х₁….1, х₄, х₅)V ₃F(х_1, х₂, 0, х₄, х₅)

Представим ССН:

F₂

F₁ → P_I(t) = [1 – (1 – P₁(t))(1 – P₂(t))] [1 – (1 – P₄(t))(1 – P₅(t))].

F_{2 →}P_II (t)= 1 – (1 – P₁(t)P₄(t)) (1 – P₂(t)P₅(t)).

Результирующая функция надежности P_∑(t) = P₃(t) P_I(t) + (1 – P₃(t))P_II(t)

Преобразование «звезда – треугольник» и «треугольник – звезда2 Известны q₁, q₂, q₃, - найти q₃₁, q₁₂, q₂₃.

Поскольку показатели надежности внешней части ССН относительно точек А_, В, С не зависят от вида соединения элементов внутренней части можно составить систему баланса надежности:

1 – q₁₂ = (1 – q₁)(1 – q₂);

1 – q₂₃ = (1 – q₂)(1 – q₃);

1 – q₃₁ = (1 – q₃)(1 – q₁).

Решая систему, находим связь между q_ij и q_i , q_j.

В случае сложной логической функции (сложной ССН) следует привести её к «бесповторному виду», т.е. отдельные коньюкции не должны содержать общих переменных. Затем выполнить арифметизацию функции в бесповторной форме по правилу:

P(x₁&x₂) = P₁P₂; P(x₁٧x₂) = P₁+P₂ –P₁P₂.

Для приведения функции к бесповторному виду применяют правила:

x& x=x; x٧x=x; x٧x&y=x; 1٧x=1; x٧ =1; (x&y)٧(x& =x; x(x٧y)=x;

(x٧y)(x٧z) = x٧yz; F (х₁, …..х₅) = х_iF(х₁….1, х₄, х₅)V ₃F(х_1, х₂, 0, х₄, х₅) .

Лекция 6. Асимптотические методы расчета надежности