1.5. Фрактальний аспект наносистем

Наносистеми – це типові відкриті нерівноважні, а отже, і нестабільні в часі, системи нанооб’єктів, які загалом “погано” організовані або стохастичні. Для їх опису мало придатні класичні підходи, які ґрунтуються на силогістиці Арістотеля, яка виходить з того, що все може бути локалізовано і має свої власні межі. Більш придатним видається альтернативний підхід Геракліта, який стверджував, що все перебуває у постійному русі і змінюється, а стабільність і гоместаз не є нормою. Логічним продовженням “лінії” Геракліта було відкриття теорії Хаосу, яка органічно об’єднала в собі інформатику, кібернетику, голографію, нелінійну динаміку і фрактальну геометрію.

1.5.1. Фрактали. Фрактальна геометрія

До недавнього часу природні об’єкти і їхню динаміку не вдавалося математично описати у закінченому вигляді. Причиною цього є те, що реальні об’єкти лише подібні до геометричних фігур: пагорби – це не конуси, ріки – не прямі і не регулярні криві, рівнини – не площини, каміння – не кулі і т. д. Результатом цього була недосконалість і нереальність перших спроб комп’ютерної графіки, неможливість моделювання складних поверхонь тощо. Формули, на підставі яких тепер розроблені алгоритми для моделювання форми хмар, структури рослин чи потоків товарів на ринках, були виведені зовсім недавно завдяки піонерським працям французького математика Бенуа Мандельброта, який ввів у вжиток поняття фракталу.

Термін “фрактал” походить від лат. fractus, що означає розколотий, роздрібнений, той, що складається з фрагментів. Загалом він означає структуру, складові частини якої подібні в певному сенсі до цілого [36]. В будь-якій фрактальній структурі довільно вибрана точка завжди є місцем розгалуження. Дроблення на частинки, які подібні до цілого, або перетворення, які повторюються, характеризуються зломами і самоподібністю. При цьому кожна точка злому характеризується відсутністю похідної.

Фрактали можуть бути лінійними і нелінійними. Лінійними називають фрактали, які можна описати лінійними функціями. Самоподібність тут реалізується у точній копії будь-якої частинки цілому. Значно багатші і різноманітніші нелінійні фрактали, які описуються нелінійними рівняннями. Самоподібність у нелінійних фракталів проявляється в деформованій копії частинки цілому. Ще одна особливість фракталів – їхній дробовий вимір. Розмірність одномірних геометричних об’єктів знаходиться в межах між нулем і одиницею, тоді як дво- та тривимірних – між 1 і 2 та між 2 і 3 відповідно. Дробовий вимір дозволяє розрахувати властивості, які не можуть бути чітко визначені іншим шляхом, як то ступінь нерівності, переривчастості (дискретності) або нестійкості об’єкта. Мандельброт виявив, що найпростіші нелінійні фрактали задаються квадратичними функціями, його можна реалізувати в комплексній площині шляхом ітераційної процедури (покрокове збільшення змінної на одиницю).

.

(1.96)

Цей алгоритм дозволяє одержати числову послідовність, кожний наступний член якої рівний квадрату попереднього, зміненому на деяку величину С. Точки цієї послідовності будуть лежати не на прямій, а в площині. Вигляд фракталів залежно від значення постійної С наведено на рис. 1.36.

г д е

Рис. 1.36. Приклади нелінійних фракталів при різних значеннях параметра С (рівняння (1.96)): 0 (a); і (б); 0,27334+0,00742і (в); 0,74543+0,11301і (г); –0.125(д); 0,11301–0,67037і (е)

Рис. 1.37. Фрактал Мандельброта [37]

Якщо в ітераційній процедурі зафіксувати параметр Z, змінюючи С, то одержимо множину Мандельброта, графічне зображення якої загальновідоме як фрактал Мандельброта (рис. 1.37). Детально розглядаючи зображення, можна переконатись, що при його збільшенні проявляються все нові і нові форми, подібні, залежно від фантазії спостерігача, на морських коників чи згорнуті гілки тропічних рослин тощо. Проте ніколи один фрагмент системи не повторює інший, хоча є до нього подібний. Крім того, були виявлені так звані плаваючі молекули або пилинки, які нагадували маленькі острівці, що оточували основний об’єкт. Однак при детальнішому розгляді збільшеного зображення фрактала видно, що кожна така плаваюча молекула насправді підвішена на філігранній нитці, яка з’єднує її з іншими молекулами. При подальшому збільшенні виявляються нові молекули, кожна з яких за формою нагадує систему в цілому і одночасно чимось відрізняється від неї. Кожна молекула співвимірна з характерними виступами, які нагадують язики полум’я. В них неминуче виявляться нові молекули, що менші, але такі ж безконечно різнобічні: завжди подібні, але ніколи не ідентичні.

Вражаюча простота фрактальних алгоритмів і дивовижна величність форм нелінійних фракталів роблять фрактальну геометрію надзвичайно ефективним засобом для опису морфологічних властивостей природи. Якщо перефразувати на сучасний лад сформульоване на зорі природознавства Галілео Галілеєм твердження, що книга природи написана мовою кіл і трикутників, то можемо з впевненістю сказати, що ця книга написана мовою нелінійних фракталів. Дивовижні обриси берегових ліній і гірських хребтів, форми хмар, крони дерев, розгалуження кровоносних судин і нейронів, вспінені турбулентні потоки гірських річок – все це фрактали. Спільним в обрисах природніх об’єктів є своєрідна почерговість порядку і безпорядку-хаосу, гармонія яких є вищим принципом природи [38].