1. Задача расчета неопределенного интеграла

1.1 Содержательное описание задачи

В данной курсовой работе требуется создать программу, позволяющую вычислять неопределенный интеграл. Область их применения – крайне велика.

Самое первое и простое, что обнаруживается при анализе этого вопроса – это площадь каких-либо фигур. Интеграл является самым удобным средством для этого. Но, зная площадь можно определить и объем! Достаточно понятный пример – это измерение объема топлива в канистре определенной формы при помощи метрштока. Это лишь самые простые примеры использования интегралов. Многие вычисления в физике работают через интегральные вычисления:

- Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) = (x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно коорди­натных осей Ox и Oy равны

-Моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычис­ляются по формулам

-Координаты центра масс   и   — по формулам

-Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью   за промежуток времени от   до   вычисляется по формуле  .

-Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по осиОх материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле  При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.

-Длина дуги. Пусть плоская кривая АВ задана уравнением у =f(x) (a   x   b),причем f(x) и f ?(x) — непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда дифференциал dl длины дуги АВ выражается формулой  или  , а длина дуги АВвычисляется по формуле  (4)

где а и b—значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х =   (у)(с у   d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле    где с и d - значения независимой переменной у в точках А и В.

- При нахождении центра масс также используются интегралы:

1) Координата центра масс системы материальных точек А₁, А₂ ,..., А_nс массами m₁, m₂, ..., m_n, расположенных на прямой в точках с координатами х₁, х₂, ..., х_n, находятся по формуле

 

2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка [а;b] оси Ох - распределена масса плотностью   (х), где   (х) - непрерывная функция. Покажем, что а) суммарная масса М стержня равна  ; б) координата центра масс х' равна  .

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей точками а= х₀ < х₁ < х₂ < ... <х_n= b (рис. ). На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянно и примерно равной   (х_{k - 1}) на k-м отрезке (в силу непрерывности  (х). Тогда масса k-ого отрезка примерно равна   а масса всего стержня равна 

Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы m_k , помещенной в точке   , получим по формуле (*), что координата центра масс приближенно находится так

Кроме физики интегралы достаточно важны в экономике. Далее приведены 4 доказывающих это примера:

1. Пусть для некоторого технологического процесса известно, какая электрическая мощность необходима для работы оборудования как функция времени. Обычно мощность измеряют в ваттах (Вт) или производных от нее единицах, например, киловаттах (кВт). Требуется оценить затраты на электроэнергию, связанные с производством.Если потребляемая мощность постоянна, например, включен один станок, который работает без перерыва от начала до конца цикла продолжительностью T (часов), то затраты на электроэнергию вычисляются по простой формуле cWT, где c — это стоимость одного киловатт-часа, W — мощность оборудования (в киловаттах).Если же потребляемая мощность в связи с технологическими особенностями процесса является функцией времени W(t), то написанная формула не применима. Для расчета мощности разобьем промежуток времени T на малые промежутки ∆ t, настолько малые, что функцию W(t) на них можно считать постоянной. На каждом из таких промежутков стоимость потребленной электроэнергии будет рассчитываться по рассмотренной формуле cW(t)∆ t, причем функция W(t) считается постоянной в пределах промежутка ∆ t, но для различных промежутков она имеет различные значения. Общая за все времяT стоимость электроэнергии составит сумму   по всем промежуткам ∆ t. В пределе малых ∆ t сумма перейдет, согласно определению определенного интеграла  в  , то есть стоимость электроэнергии есть интеграл от произведения цены за один киловатт-час на потребляемую мощность, измеренную в киловаттах. Зная мощность и цену, можем вычислить производственные затраты. Аналогично вычисляются расходы воды, горючего и т.п.

2. Пусть издержки хранения на складе единицы продукции в единицу времени равны h, при этом количество хранимой продукции не постоянно, а меняется со временем (поступления и отгрузка) по закону f(t). Определить затраты на обслуживание склада. пределе для стоимости хранения получаем интеграл  .

3. Для характеристики некоторой меняющейся со временем величины часто используют понятие среднего значения. Например, если известна динамика стоимости c(t) и количества N(t) проданных акций на бирже в течение дня, то среднее значение стоимости акции определяется как затраты на покупку всех проданных акций деленные на количество проданных акций. Как и в предыдущих примерах, здесь возникает суммирование по малым промежуткам времени, которое в пределе и переходит в интегрирование. Таким образом, средняя цена акции будет даваться выражением

: .

4.Пусть функция f(t) описывает производительность труда на некотором производстве с течением времени в пределах рабочей смены. Найдем объем продукции, произведенной за смену продолжительностью T( часов).Мы уже рассматривали экономический смысл производной и установили, что производительность труда есть производная от функции F(t), описывающей количество произведенной продукции от начала смены ( ). Соответственно  , то есть объем произведенной продукции есть интеграл от производительности труда.

Также, интегралы применяются в строительстве и в естественных науках. В первом случае вычисляются геометрические параметры будущих строений, например, объем помещений или дополнительные, например закономерности морозного пучения грунтов. В естественных науках ведутся расчеты подъёмной слабости крыла курицы, исследование популяций, исследование дыхания в особых условиях, влияние невесомости на организм.