§ 2. Пераўтварэнне інверсіі і яго выкарыстання для доказу сказаў і рашэння задач

1. Разгледзім акружнасць з цэнтрам о і радыусам r (рыс. 138). Няхай а – адвольны пункт плоскасці па-за кругам з цэнтрам о.

П абудуем дзвве датычныя АВ і АВ да акружнасці, дзе В і В ёсць пункты доказу. Няхай прамая ВВ перасякае прамую ОА у пункце А₁. Паколькі трохвугольнік ОВА прамавугольны і ВА₁ ёсць перпендыкуляр да гіпатэнузы ОА, то ОАæОА₁ = ОВ₁, або

ОАæОА₁ = r². (1)

Такім чынам, кожнаму пункту А па-за кругам адпавядае адзіны пункт круга, такі, што праўдзіцца роўнасць (2).

Праўдзіцца і адваротнае: кожнаму пункту ўнутры круга ставіцца ў адпаведнасць такі адзіны пункт па-за кругам, што праўдзіцца роўнасць (1).

Сапраўды, няхай дадзена акружнасць з цэнтрам О і радыусам r (рыс. 139) і пункт А унутры круга.

П раз пункты О і А правядзем прамую і да яе праз пункт А узвядзем перпендыкуляр, які перасячэ акружнасць у пэўным пункце В. Праз пункт В правядзем датычную, якая перасячэ прамую ОА у пэўным пункце А₁. Пункт А₁ ёсць шуканы пункт, бо ОАæОА₁ = r².

Кожнаму пункту А акружнасці паставім у адпаведнасць сам гэты пункт, тады ОАæОА = r².

Пункту О нельга паставіць у адпаведнасць ніякі пункт плоскасці, бо ў роўнасці (1) адрэзак ОА, роўны ОО, пераўтвараецца ў нулявы адрэзак і роўнасць (1) праўдзіцца не можа.

Такім чынам апісаная адпаведнасць з кожным пунктам плоскасці супастаўляе адзіны пункт гэтай плоскасці.

Пункт А₁, які ляжыць на прамені ОА і для якога праўдзіцца судачыненне ОАæОА₁ = r², называецца пунктам, інверсным пункту А.

Зразумела, што калі пункт А₁ інверсны пункту А, то і пункт А інверсны пункту А₁.

Пераўтварэнне плоскасці, якое з кожным пунктам плоскасці супастаўляе інверсны яму пункт, называецца інверсіяй у дачыненні да акружнасці.

Сама акружнасць называецца акружнасцю інверсіі, пункт О – цэнтрам, або полюсам, інверсіі, лік k = r² – ступенню, або каэфіцыентам, інверсіі.

2. Разгледзім пытанне пра сувязь паміж даўжынямі адрэзкаў ав і а1в1, дзе пункты а1 і в1 ёсць пункты, інверсныя пунктам а і в (рыс. 140).

Т эарэма 1. Няхай О ёсць полюс інверсіі, k – ступень інверсіі, А₁ і В₁ – пункты, інверсныя пунктам А і В. Калі пункты О, А, В не ляжаць на адной прамой, то А₁В₁ = . (2)

Калі пункты О, А, В ляжаць на адной прамой, то = .

Доказ. Няхай пункты О, А, В не ляжаць на адной прамой. Па азначэнні інверсіі праўдзяцца роўнасці: ОАæОА₁ = k, ОВæОВ₁ = k.

Таму ОАæОА₁ = ОВæОВ₁, або = .

Улічыўшы гэта і тое, што ў трохвугольнікаў ОАВ і ОВ₁А₁ агульны вугал О, атрымліваем, што гэтыя трохвугольнікі падобныя. Значыць,

= , або А₁В₁ = .

Паколькі ОАæОА₁ = k, то ОА₁ = . Значыць, А₁В₁ = .

Н яхай пункты О, А, В ляжаць на адной прамой (рыс. 141). Тады = – = – = . Мы ўлічылі, што ОАæОА₁ = k і што вектары і – калінеярная, а таксама, што ОВæОВ₁ = k і што вектары і – калінеярная.

Паколькі – = , то = .

3. Цяпер разгледзім пытанне пра тое, як пераўтвараюцца пры інверсіі прамыя і акружнасці.

С пачатку разгледзім прамую, што праходзіць праз полюс О інверсіі (рыс. 142). Прамень NА пераходзіць у адрэзак (без канца О) NА, прамень МN у адрэзак МО, адрэзак NО у прамень NА, адрэзак МО у прамень МВ.

Тэарэма 2. Прамая, што не праходзіць праз цэнтр інверсіі, пры інверсіі пераўтвараецца ў акружнасць, што праходзіць праз полюс інверсіі.

Доказ. Няхай О – полюс інверсіі, k – ступень інверсіі, l – прамая, што не праходзіць праз полюс інверсіі (рыс. 143).

З нойдзем праекцыю А полюса О на прамую l і возьмем адвольны пункт В прамой l. Няхай А₁ і В₁ – пункты, інверсныя пунктам А і В. Па азначэнні інверсіі ОАæОА₁ = k = ОВæОВ₁.

Паколькі ў трохвугольнікаў ОАВ і ОА₁В₁ вугал А – агульны і = , то гэтыя трохвугольнікі падобныя. Таму вугал ОВ₁А₁ – прамы, бо вугал ОАВ – прамы. Значыць, пункт В₁ ляжыць на акружнасці з дыяметрам ОА₁.

Такім чынам, адвольны пункт В прамой l, што не праходзіць праз полюс інверсіі пераходзіць пры гэтай інверсіі ў пункт акружнасці, якая сваім дыяметрам мае адрэзак ОА₁, дзе А₁ ёсць пункт, інверсны праекцыі А полюса інверсіі на прамую l. Пункт О гэтай акружнасці не з’яўляецца інверсным ні для якога пункта прамой l.

Акружнасць, інверсная прамой l, праходзіць праз пункты М і N, у якіх прамая l перасякае акружнасць інверсіі, бо гэтыя пункты пры інверсіі пераходзяць самі ў сябе.

Вынік 1. Акружнасці, што праходзяць праз полюс інверсіі, ставіцца ў адпаведнасць прамая, якая не праходзіць праз полюс, прычым гэтая прамая паралельная датычнай да акружнасці ў полюсе інверсіі.

Першая частка сцвярджэння вынікае з тэарэмы 2, паколькі пераўтварэнне інверсіі біектыўнае, другая – з таго, што дыяметр ОА₁ акружнасці, інверснай прамой l перпендыкулярны да гэтай прамой.

Т эарэма 3. Акружнасці, што не праходзяць праз полюс інверсіі, пры гэтай інверсіі пераўтвараецца ў акружнасць, якая таксама не праходзіць праз полюс інверсіі, полюс інверсіі супадае з адным з цэнтраў падобнасці гэтых акружнасцяў (рыс. 144).

Няхай О – полюс інверсіі, k – яе ступень. Няхай А – адвольны пункт дадзенай акружнасці з цэнтрам М, А₁ – пункт інверсны пункту А, В – другі пункт перасячэння прамой ОА з дадзенай акружнасцю. Няхай h – ступень пункта О у дачыненні дадзенай акружнасці.

Па азначэнні інверсіі атрымаем ОАæОА₁ = k, а па азначэнні ступені пункта ў дачыненні да акружнасці – ОАæОВ = h.

Падзяліўшы першую няроўнасць на другую, атрымаем = = const, або ОА₁ = æОВ.

Калі рухаць пункт А па дадзенай акружнасці, пункт В апіша гэтую самую акружнасць, а пункт А₁ – фігуру, гаматэтычную дадзенай акружнасці, г. зн. акружнасць.

Вынік 2. Акружнасць пераўтвараецца інверсіяй у самую сябе, калі ступень полюса інверсіі ў дачыненні да гэтай акружнасці роўная ступені інверсіі.

Сапраўды, калі k = h, то ОА₁ = ОВ і інверсная акружнасць супадае з дадзенай.

Вынік 3. Радыус інверснай акружнасці адносіцца да радыуса дадзенай акружнасці як ступень інверсіі да модуля ступені полюса інверсіі ў дачыненні да дадзенай акружнасці.

Сапраўды, няхай K і L – пункты перасячэння, дадзенай акружнасці з прамой цэнтраў, K₁ і L₁ – пункты перасячэння інверснай акружнасці з гэтай лініяй. Па формуле (2) атрымаем: = = .