2 Системы счисления

 Понятие числа является фундаментальным как для математики, так и для информатики. С числами связано важное понятие-система счисления.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Системы счисления которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.

Система называется непозиционной, если значение каждой цифры (ее вес) не зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

До нас дошла римская система записи чисел в которой в качестве цифр используются латинские буквы)

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Например, число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно 232.

В римских числах цифры записываются слева на право в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если слева записана меньшая цифра , а справа большая, то их значения вычитаются.

VI=5+1=6 IV=5-1=4

На Руси до XVIII века, использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы имели цифровое значение если над ними ставился специальный знак-титло:Ầ. Самая большая величина называлась «колода» А равное 10⁵⁰ считали, что «более сего несть человеческому уму разумевати».

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для сложения и вычитания, но совсем не пригодны для умножения и деления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти так как запись любого числа производится с помощью десяти цифр:

0123456789

Десятичная система счисления зародилась в Индии и в XIII была перевезена Арабами, поэтому десятичную систему счисления называют арабской.С древних времен существовали разные системы счисления, на Древнем Востоке использовала 12-ричную систему счисления(столовые приборы и сейчас считают дюжинами, число месяцев в году 12) В Древнем Вавилоне существовала 60-ричная система счисления( 1мин -60 сек)

Позиционный тип легко понять на примере любого многозначного числа. Например в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая- три десятка, третья- три единицы.

333=3*100+3*10+3

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);

• восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Если количество таких цифр в системе счисления равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = a_nPⁿ + a_n-1P^n-1 + ... + a₁P¹ + a₀P⁰ + a_-1P^-1 + ... + a_-mP^-m

Таблица 1

10 2 8 16 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F

Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу.

/101101₂, 3671₃, 3B8F₁₆