4.1. Интерполяция.

Рис. 4.1. График интерполирующей функции проходит через заданные точки.

Для задачи интерполяции критерий близости аппроксимирующей функции к исходным данным , рассматривается как совпадение значений в заданных точках, называемых узлами интерполяции (рис. 4.1), т.е.

.

Если функция задана в виде полинома, то он называется интерполяционным полиномом и может быть записан, например, в форме Лагранжа или Ньютона.

4.1.1. Интерполяционный полином в форме Лагранжа.

Пусть на некотором промежутке заданы различных узлов , , , …, , а также значения некоторой функции , , , …, в этих узлах. Необходимо построить полином , проходящий через заданные точки, т.е.

Интерполяционный полином Лагранжа имеет следующую формулу:

(4.1)

где - фундаментальные полиномы Лагранжа. Они удовлетворяют равенствам

(4.2)

и зависят лишь от заданных узлов , но не от значений интерполируемой функции .

Пример 4.1. Пусть задана таблица:

Таблица 4.1
		0

Необходимо построить интерполяционный полином Лагранжа, проходящий через заданные точки

Решение. Полином Лагранжа имеет вид:

Найдем фундаментальные полиномы Лагранжа:

Подставляя в полином Лагранжа, находим:

4.1.2. Интерполяционный полином в форме Ньютона.

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

где

- разделенная разность первого порядка,

- разделенная разность второго порядка,

- разделенная разность третьего порядка и т.д.

Пример 4.2. Построить интерполяционный полином в форме Ньютона, проходящий через точки, заданные таблицей 4.1.

Решение. Расчеты представим в виде таблицы.

Таблица 4.2
1
2
3
4

Пример 4.3. Построить интерполяционный полином, проходящий через точки, заданные таблицей 4.1, используя программу Excel.

Порядок решения.

1. Ввести таблицу в рабочий лист Excel (обыкновенные дроби вводятся как формулы, т.е. =9/8). Выделить ячейки таблицы.

2. Вставить диаграмму: Вставка – Диаграммы – Точечная – точечная с маркерами. На рабочем листе появится график точек таблицы.

3. Вызвать контекстное меню (правой кнопкой мыши) одной из точек графика. Выбрать пункт «Добавить линию тренда».

4. Выбрать Полиномиальную аппроксимацию и установить степень полинома на единицу меньше числа точек, т.е. 3.

5. Отметить «показывать уравнение на диаграмме».

6. Закрыть окно настроек. Появляется линия графика интерполирующей функции и соответствующая формула:

Рис. 4.2. Результаты интерполяции в программе Excel.

Интерполяционный полином определяется единственным образом независимо от метода его построения. Степень интерполирующего полинома на единицу меньше числа точек