13) Teopeмa сложения скоростей.

Пусть некоторая точка М со­вершает движение по отношению к системе отсчета Oxyz, которая са­ма движется произвольным образом по отношению к неподвижной систе­ме отсчета , (рис.49). Конечно, абсолютное движение точки М определяется уравнениями

Относительное движение – в движущихся осях уравнениями

  Уравнений, определяющих переносное движение точки, не может быть вообще. Так как, по определению, переносное движение точки М – это движение относительно неподвижных осей той точки системы , с которой совпадает точка в данный момент. Но все точки подвижной сис­темы движутся по-разному.

Поло­жение подвижной системы отсчета может быть также определено, если задать положение точки О радиусом-вектором , проведенным из начала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов подвижных осей Оx, Oy, Oz.

 

Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения со скоростью точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, походящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью . Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектора и направления единичных векторов изменяются. Если векторы заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено.

Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета можно определить радиусом-вектором

,

где координаты x, y, z точки М изменяются с течением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета. Если радиус-вектор задан в функции времени, то относительное движение точки М, т.е. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано.

Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета , может быть определено радиусом-вектором . Из рис.49 видно, что

Если относительные координаты x,y,z точки М и векторы определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точки М, т.е. движение этой точки по отношению к неподвижной системе отсчета, также надо считать заданным.

Скорость составного движения точки М, или абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора точки M по времени t

.

Поэтому, дифференцируя равенство (1) по времени t, получим

. (2)

Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы по следующему признаку. К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координат x,y,z, а ко второй - те слагаемые, которые содержат производные от векторов , т.е. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения подвижной системы отсчета

(3)

. (4)

Каждая из групп слагаемых, обозначенных через и , представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростей и .

Скорость , как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координаты x,y,z точки М, но векторы остаются постоянными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Итак, скорость представляет собой относительную скорость точки М.

Скорость вычисляется так, как будто бы точка М не двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные x,y,z в равенство (4) не входят. Поэтому скорость представляет собой переносную скорость точки М.

Итак, . (5)

Это равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.

14) Полная и локальная производные вектора. Формула Бура.

Рассмотрим изменение вектора b(t) по отношению к двум системам координат — подвижной O'XYZ и неподвижной Oxyz.

Абсолютной, или полной, производной вектора b по аргументу t называется вектор определяющий изменение вектоpa b(t) в неподвижной системе Oxyz.

Относительная, или локальная, производная определяет изменением вектора b(t) в подвижной системе O'XYZ.

Формула Бура (получается из зависимости между полной и локальной производными): .

Рассомтрим частные случаи.

1) угловая скорость = 0, то = ;

2) вектор b не меняется в подвижной системе отсчета ( =0), то ;

3) , т.е. вектор b все время параллелен вектору угловой скорости ( ), то = . В частности, если , то , т.е. вектор угловой скорости изменяется одинаково для подвижной и неподвижной систем координат.

Дополнение:

Выведение формулы Бура:

Найдем зависимость между полной и локальными производными. Если воспользоваться проекциями вектора b(t) на оси подвижной системы O'XYZ, то можно записать: , где I, J, К — орты, не изменяемые в этой системе отсчета. Поэтому локальная производная , а полная производная с учетом изменения также ортов I, J , К имеет вид: . В правой части уравнения первые три слагаемых выражают локальную производную, а производные от ортов I, J, K определяются формулами Пуассона ( ), т.е.

С учетом получаем: .

Кориолисово ускорение определяется по формуле:

 Величина этого ускорения a_K=2ω_eV_rsinα , (3.5)

где  α - угол между векторами переносной угловой и линейной относительной скоростями. 

Величина кориолисова ускорения вычисляется по формуле

(18)

а направление вектора определяется по правилу построения вектора векторного произведения векторов ω_e и V_r (рис. 106, a). Когда переносное и относительное движение лежат в одной плоскости, построение вектора кориолисова ускорения облегчается применением правила Н.Е. Жуковского. В этом случае для нахождения направления кориолисова ускорения достаточно повернуть вектор относительной скорости на угол 90° в сторону переносного вращения (рис. 106, b).

На основании формулы (18) можно указать следующие случаи, когда кориолисово ускорение равно нулю: 1) ω_e = 0; 2) ω_e//V_r; 3) V_r = 0. Второй и третий случаи могут возникать в процессе движения, но особого интереса не представляют. Первый случай имеет место, когда переносное движение поступательное, и часто встречается при решении конкретных вопросов теории и практических задач.