Изложение численного метода определения корней трансцендентных уравнений

В аналитических решениях задач нестационарной теплопроводности содержатся числа (см. лабораторную работу №4).

Эти числа являются корнями следующих трансцендентных уравнений:

а) для пластины

; (1)

б) для цилиндра

; (2)

в) для шара

. (3)

Вообще, число Х называется корнем уравнения

, (4)

если при подстановке вместо х числа Х уравнение (4) превращается в верное числовое равенство.

Процесс численного решения уравнения (4) разбивается на два этапа: отделение корней и уточнение корней.

Говорят, что корень уравнения отделен на данном промежутке числовой оси, если он содержится в этом промежутке, и никаких других корней на этом промежутке нет. Произвести полное отделение всех корней уравнения – значит разбить всю область допустимых значений х на промежутки, в каждом из которых содержится либо только один корень, либо ни одного.

В случае уравнений (1), (2), (3) отделение корней можно легко получить с помощью графических методов. При этом также можно приближенные значения корней и принять их в качестве первых приближений для дальнейших расчетов методом, изложенным ниже.

Например, в случае графического решения уравнения (1) обозначим левую часть этого уравнения через

, (5)

а правую через

. (6)

Очевидно, что пересечение катангенсоиды с прямой и дает нам значения корней характеристического уравнения (1).

Аналогичным образом решается графически и уравнение (2). В этом случае

, (7)

а

. (8)

Для графического решения уравнения (3) следует принять

, (9)

а

. (10)

Уточнение корней может быть произведено методом половинного деления. Сущность этого метода состоит в следующем. Известно, что если внутри некоторого интервала (рис.1) уравнение имеет один некратный корень, то на концах интервала функция имеет различные знаки. Поэтому для нахождения корня с заданной точностью необходимо заключить его в достаточно тесный интервал, величина которого и определяется желаемой точностью.

Поскольку известно, что исходный интервал содержит в себе корень уравнения и притом только один, то необходимо, очевидно, последовательным сужением интервала довести его величину до требуемой точности, которая задана.

Сужение интервала производится путем его половинного деления. Для этого вычисляется значение левой части уравнения (4) в средней точке отрезка

. (11)

Пусть, например,

, (12)

. (13)

Тогда, если

, (14)

то корень содержится в интервале (рис.1,а).

Если же

, (15)

то корень содержится в интервале (рис.1,б).

В другом случае, если

, (16)

, (17)

то при

(18)

корень содержится в интервале (рис.1,в).

При

(19)

корень содержится в интервале (рис.1,г).

Рис.1. Расчетная схема метода половинного деления

Метод половинного деления весьма часто используется при вычислении на ЭВМ, т.к. его очень легко реализовать с помощью этих машин.