47) Теорема Лагранжа. (о конечных приращениях)

Пусть функция y=f(x)

1. непрерывна на отрезке [a;b];

2. дифференцируема на интервале (a;b).

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x₀ , такая, что

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция y=f(x)

1. непрерывна на отрезке [a;b];

2. дифференцируема на интервале (a;b);

3. на концах отрезка [a;b] принимает равные значения  .

Тогда на интервале (a;b)  найдется, по крайней мере, одна точка x₀ , в которой  .

48) Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производнойфункции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

49) Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции y=f(x)  и y=g(x):

1. непрерывны на отрезке [a;b];

2. дифференцируемы на интервале (a;b);

3. производная   на интервале (a;b),

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка x₀ , такая, что

Правило Лопиталя.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки a, кроме, может быть, самой точки a;

2)   и   в этой окрестности;

3)  ;

4)   существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и  , причем 

51) Возрастание и убывание фукции

Необходимые условия: если дифференцир. АВ функция возрастает(убывает) то f ^I(x)›0 , (f ^I(x)‹0)

Достаточные условия: если f(x) диференцир. отрезок АВ и f ^I(x)›0 , (f ^I(x)‹0) для х принадлежащему отрезку АВ то f(x) возрастает (убывает) на отрезке АВ

52) Экстре́мум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

(Необходимое условие экстремума)

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x₀, то ее производная  f ^I(x₀) либо равна нулю, либо не существует.

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции y=f(x) выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки x₀;

2. f ^I(x₀) =0 или f ^I(x₀)  не существует;

3. производная f ^I(x₀)  при переходе через точку x₀ меняет свой знак.

Тогда в точке x=x₀ функция y=f(x)  имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку x₀  производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x₀ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если функция y=f(x)  определена и непрерывна на отрезке [a,b] , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Если свое наибольшее значение M функция f(x) принимает в точке  , то M=f(x₀) будет локальным максимумом функции f(x), так как в этом случае существует окрестность точки x₀, такая, что f(x)≤f(x₀) .

Однако свое наибольшее значение M функция f(x) может принимать и на концах отрезка [a;b] . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение M непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x), надо найти все максимумы функции на интервале(a;b) и значения f(x) на концах отрезка [a;b];, то есть f(a) и f(b), и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением m непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x) будет наименьший минимум среди всех минимумов функции f(x) на интервале (a;b) и значений f(a) и f(b).

53) График функции y=f(x), дифференцируемой на интервале (a;b), является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала (a;b) лежит не выше любой своей касательной .

График функции y=f(x), дифференцируемой на интервале (a;b), является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала (a;b) лежит не ниже любой своей касательной.

Точкой перегиба графика функции y=f(x) называется точка M(x_1;f(x₁)), разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция y=f(x) имеет перегиб в точке M(x₁;f(x₁)), то f ^II(x₁)=0 или не существует.

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная  f ^I(x) непрерывна в окрестности точки x₁;

2. вторая производная f ^II(x)=0 или не существует в точке x₁;

3. f ^II(x) при переходе через точку X₁ меняет свой знак,

тогда в точке M(x_1;f(x₁)), функция y=f(x) имеет перегиб.

54) Асимптоты кривой

Прямая линия называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.

Классификация асимптот

1. Вертикальные асимптоты.

2. Горизонтальные асимптоты.

3. Наклонные асимптоты.

Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси OY, имеет вид x=a. Если прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов   или   равен бесконечности (+∞ или -∞).  Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты. 

Наклонные асимптоты

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты   или  . (1)  Разделим обе части этого равенства на x:  , откуда  . (2)  Теперь из (1):  . (3)  Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при x→+∞ и при x→-∞, так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).

55) Общая схема построение графика 1)найти облость определения функции 2)найти точки пересечения графика с осями координат 3)найти промежутки знака постоянства 4)является ли она четной, нечетной или функция общего вида 5)найти асимптоты графика функции 6)найти интервалыы монотонности 7)найти экстремумы функции 8)найти интервалы выпуклости и точки перегиба 9)найти дополнительные точки 10)построить чертеж.