5.3 Оформлення та захист практичного завдання
У звіті про виконання практичного завдання відображаються його тема, короткі теоретичні відомості, постановка завдання, вихідні дані за варіантом, результати розрахунку та їх аналіз.
Під час захисту роботи студент має довести правильність розрахунків відповідно до свого індивідуального варіанта, показати вміння аналізувати розраховані результати, відповісти на контрольні запитання.
5.4 Контрольні запитання
Надійність якої системи вище? Паралельної або послідовної?
Як розрахувати кратність резервованої системи?
Дати визначення поняттю „паралельна система”?
Дати визначення поняттю „нерезервований елемент”?
Дати визначення поняттю „загальне резервування елемента”?
Чому ймовірність паралельних систем вище в порівнянні з послідовними?
Як визначити інтенсивність відмов системи, якщо вона має два нерезервованих елементи?
ПРАКТИЧНА РОБОТА № 6
Логіко-ймовірнісні методи визначення надійності складних систем
6.1 Теоретичні відомості
В сучасній техніці уже відомо багато ефективних прийомів і методів підвищення надійності систем. Серед них основну роль грають методи структурного і функціонального резервування.
Одним із перспективних напрямків є розробка логіко-ймовірнісних методів [8, 14]. Математична сутність методів полягає у використанні функції алгебри логіки для аналітичного запису умов працездатності системи і в розробці чітких методів переходу від функцій алгебри логіки до функцій ймовірності, які об’єктивно виражають безвідмовність цієї системи.
Отже, теоретичною основою логіко-ймовірнісного методу являється математична логіка (булева алгебра). Базовими елементами, якими оперує булева алгебра є :
- висказування;
- логічні операції;
- логічний вираз;
- складний логічний вираз.
Висказування – це уповідальне повідомлення, про яке можна точно сказати вірне (істинне) воно чи невірне (вірне – логічна одиниця, невірне – логічний нуль) .
Логічні операції – дії мислення, результатом яких є зміни суті або об’єму понять,а також формування нових понять.
Логічний вираз – усне або письмове ствердження, в яке крім постійних величин обов’язково входять змінні величини (об’єкти). В залежності від значення цих змінних величин (об’єктів) логічні вирази можуть приймати одне з двох можливих значень: вірно (логічна одиниця), або невірно (логічний нуль).
Складний логічний вираз – логічний вираз, який складається з одного або декількох простих логарифмічних виразів (або складних логарифмічних виразів), з’єднаних за допомогою логічних операцій.
В алгебрі логіки розглядаються три основні логічні операції: кон’юнкція (логічний добуток), диз’юнкція (логічна сума) та заперечення (інверсія).
Кон’юнкція – це складний логічний вираз, який вважається вірним (істинним) в тому і тільки в тому випадку коли обидва простих вирази являються вірними (істинними), в усіх інших випадках даний складений вираз невірний.
Кон’юнкція виразів
А
і В
позначається
(читається А
і В).
Якщо
.
(6.1)
то таблиця істинності буде вигляд наведений у таблиці 6.1.
Таблиця 6.1 – Значення істинності для кон’юнкції
А |
В |
Ф |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Диз’юнкція – складний логічний вираз, який вірний (істинний), якщо хоча б один із простих логічних виразів вірний (істинний) і невірний тоді і лише тоді, коли обидва простих логічних виразів невірні.
Диз’юнкція
позначається
(читається А або В):
.
(6.2)
Таблиця істинності для диз’юнкції наведена у таблиці 6.2.
Таблиця 6.2 – Значення істинності для диз’юнкції
А |
В |
Ф |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Інверсія – це складний логічний вираз, результат заперечення якого буде невірним у тому випадку, якщо вихідний логарифмічний вираз істинний, і навпаки, якщо вихідний логарифмічний вираз невірний, то результат заперечення буде істинним. Іншими словами, дана операція означає, що до вихідного логарифмічного виразу додається частка «не» або слово «невірно» і позначається А'.
Таблиця істинності для інверсії показана у таблиці 6.3.
Таблиця 6.3 – Значення істинності для інверсії
А |
А' |
1 |
0 |
0 |
1 |
За допомогою рівнянь алгебри логіки можна описати умови робото- здатності технічної системи, в тому числі цифрових приладів. Рівняння показують, з яких елементів і якими з’єднаннями можна отримати заданий цифровий прилад або забезпечити виконання заданого системі призначення. Очевидно, що останнє безпосередньо зв’язане з вирішенням різноманітних задач із області надійності та живучості технічних систем.
Порядок використання логіко-ймовірнісного методу заключається в наступному:
1 - побудова схеми надійності технічної системи;
2 - кожному елементу системи присвоюється бінарний код (1 або 0);
3 - виконують аналіз всіх можливих станів технічної системи у вигляді таблиці істинності.
Число можливих станів системи визначають по формулі
.
(6.3)
де n – кількість елементів системи;
2 – кількість можливих станів системи.
4 - записується функція працездатності системи в булевому вираженні;
5 - перетворення функції працездатності в алгебраїчну форму з врахуванням ймовірності безвідмовної роботи P(t) та імовірності відмови Q(t) елементів системи.
Розглянемо логіко-імовірнісний метод визначення надійності на прикладі конкретних задач.
Задача 6.1
Визначити ймовірність безвідмовної роботи системи Р(t), яка складається з трьох елементів (рисунок 6.1). Кожен з елементів може знаходитись лише в двох станах – працездатному і непрацездатному.
Ймовірність безвідмовної роботи кожного елемента складає: Р1(t)=0,78; Р2(t)=0,56; Р3(t)=0,97.
P2(t)
P1(t)
Рисунок 6.1 – Схема системи для розрахунку
Розв’язання.
Число можливих станів системи складає
m=23=8.
Побудуємо таблицю істинності (таблиця 6.3).
Таблиця 6.3 – Значення істинності задачі 6.1
А |
В |
С |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Функція працездатності в бінарній системі має два вирази:
,
якщо система не відмовила тобто працює;
,
якщо система відмовила тобто не парцює;
–
стан безвідмовної
роботи, Р(t);
- система відмовила, Q(t).
Отже, функція працездатності для заданої системи має вигляд
.
.
Відповідь.
Ймовірність безвідмовної роботи системи Р(t)=0,424.
Задача 6.2
Визначити ймовірність безвідмовної роботи системи Р(t), яка складається з трьох елементів (рисунок 6.2). Кожен з елементів може бути або працездатним, або непрацездатним. Ймовірність безвідмовної роботи кожного елемента складає: Р1(t)= 0,95; Р2(t)= 0,66; Р3(t)= 0,57.
Рисунок 6.2 – Схема системи для розрахунку задачі 6.2
Розв’язання.
Число можливих станів системи складає
m=23=8.
Побудуємо таблицю істинності (таблиця 6.4).
Таблиця 6.4 – Значення істинності задачі 6.2
А |
В |
С |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Функція працездатності для заданої системи має вигляд:
.
.
.
.
Відповідь.
Ймовірність безвідмовної роботи системи Р(t)=0,8.