3. Переведення s-чисел у 10-числа
Відомо,
що в 10-системі
будь-яке число
можна записати у вигляді розкладення
на степені основи S:
,
(1)
,
– найстарший
значущий розряд;
– кількість
дробових розрядів.
У загальному випадку задача розкладення на ступені S є неоднозначна – існує більше ніж одне розкладення (1). Але за додаткових умов
(
) (2)
ця задача однозначна.
Розкладення
(1) за умов (2) є основа для переведення
чисел із однієї системи числення в іншу.
У цьому випадку число
визначає цифру i-розряду
S-числа.
Якщо
відоме S-число,
то відомі
і для переведення S-числа
в 10-число
досить виконати необхідні дії в
розкладенні (1).
Приклад 1.
;
;
.
Вправа
1.
Перевести S-числа
в 10-числа:
,
,
.
4. Переведення 10-чисел у s-числа
Переведення 10-чисел у S-числа здійснюється окремо для цілої та дійсної частини числа. Тому доцільно записати довільне число у вигляді
,
де
– ціла
частина числа; p – дробова
частина числа.
Приклад 1
;
.
4.1. Переведення цілих 10-чисел у цілі s-числа
У 10-системі ціле число n можна записати у вигляді розкладення
.
Сукупність дій з переведення 10-чисел у S-числа розбиваються на кроки.
1-й
крок. Поділимо число n
на S.
Одержимо ціле число
та остачу
:
,
.
2-й
крок. Поділимо число
на
.
Одержимо ціле число
та остачу
:
,
.
…………………………………………………………………...
……………………………………………………………………
крок.
,
,
,
Приклад
1.
.
Розв’язання.
1-й
крок.
із
остачею
,
,
.
2-й
крок.
із
остачею 5,
,
.
3-й крок.
,
.
У
підсумку:
.
Перевірка:
.
Приклад
2.
.
Розв’язання.
1-й крок.
із
остачею 0;
,
.
2-й крок.
із
остачею
;
,
.
3-й крок.
,
.
У
підсумку
.
Перевірка:
.
Приклад
4.1.3.
.
Розв’язання,
1-й крок.
із
остачею 1;
,
.
2-й крок.
із
остачею 0;
,
.
3-й
крок.
:
із
остачею 0;
,
.
4-й
крок.
:
із
остачею 0;
,
.
5-й
крок.
:
із
остачею 0;
,
.
6-й
крок.
:
із
остачею 0;
,
.
7-й крок.
,
.
У
підсумку
.
Перевірка:
.
На практиці переведення чисел здійснюють простіше – так, як це показано в прикладах 4‑6.
Приклад
4.
.
Розв’язання.
.
Приклад
5.
.
Розв’язання.
.
Приклад
6.
.
Розв’язання.
.
4.2. Переведення дробових 10‑чисел у дробові s‑числа
У 10‑системі числення дробове число p можна записати у вигляді розкладення
,
у якому число k невідоме і може бути яким завгодно великим, у тому числі нескінченністю.
Переведення дробових 10-чисел у дробові S-числа так само, як у випадку цілих чисел, розпадається на кроки.
1-й крок. Перемножимо число p на S. Одержимо дробове число
і
ціле число
,
яке і визначає цифру
-розряду
S-числа.
2-й
крок. Перемножимо число
на S.
Одержимо дробове число
і
ціле число
,
яке і визначає цифру
‑розряду
S-числа.
Продовжуючи цей процес, можна одержати наступні цифри дробового S-числа.
Якщо
дробове число p
у 10-системі
числення є скінченний дріб, то, власне
кажучи, відповідне S-число
може буде нескінченним дробом. У такому
випадку необхідно вимушено припинити
процес переведення на деякому кроці. У
результаті одержимо скінченний, але
наближений дріб у S-системі
числення (наближене S-число).
Якщо це S-число
перевести в десяткове, то одержимо деяке
число
.
Різниця цих чисел за абсолютною величиною
називається абсолютною
похибкою переведення
числа
.
Для
зменшення похибки переведення числа
його слід заокруглити за відомими
правилами у 10-системі числення. Зокрема,
у 2-системі числення до останнього
збереженого розряду необхідно додати
1, якщо перший відкинутий розряд 1, і
залишити його без змін – якщо 0.
Можна довести, що похибка переведення
в цьому випадку не перевищує половини
останнього збереженого розряду. Це
означає, що гранична
похибка переведення
дорівнює числу
,
де k – кількість
збережених розрядів дробової частини
числа. У 2-системі числення це число
.
Приклад
1.
Задане дробове число
.
Записати це число у 2-системі числення
із граничною похибкою
та обчислити істинну похибку переведення.
Розв’язання. З умови задачі випливає, що необхідно знайти шість дробових розрядів.
1-й крок.
,
,
,
;
2-й крок.
,
,
,
;
3-й крок.
,
,
,
;
4-й крок.
,
,
,
;
5-й крок.
,
,
,
;
6-й крок.
,
,
,
.
Отже,
(у першому відкинутому розряді 1, тому заокруглюємо).
.
Істинна похибка переведення
.
Приклад
2.
Задане дробове число
.
Знайти перші чотири дробові розряди
відповідного 3-числа,
обчислити істинну похибку переведення
і порівняти її з граничною похибкою.
Розв’язання:
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
;
,
,
,
.
Отже,
(у першому відкинутому розряді 2, тому заокруглюємо),
.
Істинна похибка переведення
.
Зрозуміло, що існують дробові числа, для яких похибка переведення дорівнює нулю.
Приклад
3.
Знайти
відповідне 16-число до числа
.
Розв’язання:
,
,
,
;
,
,
,
;
Очевидно,
що всі наступні цифри числа будуть
дорівнювати нулю. Отже,
.
Процес переведення дробових десяткових чисел у S-числа на практиці здійснюють так, як це показано в прикладі 4.
Приклад
4.
Перевести дробове число
у 2-число
із похибкою, що не перевищує
,
і 16‑
число з похибкою, яка не перевищує
.
Розв’язання. З умови задачі випливає, що необхідно знайти сім дробових розрядів заданого числа у 2-системі числення.
Ліворуч
від вертикальної лінії записуються
цілі частини заданого числа (першим
нуль – він буде завжди) і
добутків
– розряди
2-числа,
а праворуч – дробові частини числа
і добутків (дробові розряди підкреслені).
.
З умови задачі випливає, що необхідно знайти п’ять дробових розрядів 16‑числа.
(у
першому відкинутому розряді
,
тому заокруглюємо).
Вправа 1. Перевести:
34.73 у 2-число із похибкою, яка не перевищує ;
345.7 у 16-число із похибкою, яка не перевищує
;236.4 у 7-число із похибкою, яка не перевищує
;236.4 у 9-число із похибкою, яка не перевищує
;236.4 у 5-число із похибкою, яка не перевищує
.