Mühazirə 3. Metrik fəzada ətraf anlayişi
Tutaq
ki,
metrik fəzası, 
nöqtəsi və 
ədədi verilmişdir.
şərtini ödəyən bütün mümkün 
nöqtələr çoxluğunun əmələ gətirdiyi çoxluq mərkəzi 
nöqtəsi olan r
radiuslu qapalı
kürə adlanır.
şərtini ödəyən bütün mümkün
nöqtələr çoxluğuna mərkəzi
nöqtəsi olan r
radiuslu açıq
kürə deyilir.
Mərkəzi
nöqtəsi olan 
radiuslu açıq kürəyə
nöqtəsinin 
ətrafı
deyilir və 
kimi işarə olunur.
çoxluğuna
nöqtəsinin
deşilmiş ətrafı
deyilir.
Tərif
1:
Tutaq ki, 
çoxluğu verilmişdir. Əgər
nöqtəsinin
ətrafı ilə M
çoxluğunun kəsişməsi boş deyilsə,
nöqtəsi M
çoxluğunun toxunma
nöqtəsi adlanır.
Tərif
2:
M
çoxluğunun bütün toxunma nöqtələri çoxluğuna M
çoxluğunun qapanması
deyilir
və 
kimi işarə olunur.
Qeyd edək ki, çoxluğun qapanması əməliyyatı aşağıdakı xassələri ödəyir:
Tərif
3:
Əgər 
olarsa, M
çoxluğuna qapalı
çoxluq deyilir.
Tərif 4: Əgər nöqtəsinin deşilmiş ətrafı ilə M çoxluğunun kəsişməsi boş deyilsə, nöqtəsi M çoxluğunun limit nöqtəsi adlanır.
Tərif
5:
Tutaq ki, 
və
nöqtəsinin 
deşilmiş ətrafı var ki, bu ətraf ilə M çoxluğunun kəsişməsi
boş çoxluqdur. Onda
nöqtəsi M çoxluğunun izoləedilmiş
nöqtəsi adlanır.
Təriflərdən aydındır ki,çoxluğun toxunma nöqtəsi ya çoxluğun limit nöqtəsidir ya da izoləedilmiş nöqtəsidir.
Mühazirə 4. Metrik fəzada yiğilma
Tutaq
ki,
metrik fəzası və 
ardıcıllığı verilmişdir. Əgər
olarsa,
nöqtəsinə 
ardıcıllığının
limiti deyilir.
Metrik fəzada ardıcıllığın limitinə aşağıdakı kimi də
tərif vermək olar.
Tərif
1:
Tutaq ki, 
ədədinə
görə 
nömrəsi var ki, 
üçün 
şərti ödənilir. Onda
nöqtəsinə
ardıcıllığının
limiti deyilir
və
kimi işarə olunur.
Teorem
1:
Tutaq ki,
metrik fəzası və
çoxluğu və
nöqtəsi verilmişdir.
nöqtəsinin
M
çoxluğunun limit nöqtəsi olması üçün zəruri və kafi şərt
ardıcıllığının olmasıdır ki,
olsun.
İsbatı:(zərurilik) Tutaq ki, nöqtəsi m çoxluğunun limit nöqtəsidir. Onda limit nöqtəsinin tərifinə əsasən natural ədədi üçün
Onda
natural ədədi üçün 
nöqtəsi götürək. Onda aydındır ki, bu qaydayla qurulan
ardıcıllıq üçün 
olar. Axırıncı daxil olmadan aydındır ki,
(kafilik):
olduğundan
tərifə əsasən
ədədinə
görə
nömrəsi var ki,
üçün
olar. Digər tərəfdən 
olduğundan alarıq ki,
nöqtəsi M çoxluğunun limit nöqtəsidir. Teorem isbat olundu.
Mühazirə 5. Tam metrik fəza
Tutaq
ki,
metrik fəzası və 
ardıcıllığı verilmişdir.
Tərif
1:
Tutaq ki,
ədədinə
görə
nömrəsi var ki,
, 
üçün 
şərti ödənilir. Onda
ardıcıllığına fundamental
ardıcıllıq
deyilir.
Teorem 1: Hər bir yığılan ardıcıllıq fundamentaldır.
Isbatı : Tutaq ki,
Onda
limitin tərifinə əsasən
ədədinə
görə
nömrəsi var ki,
üçün 
olar. Onda metrikanın 3-cü xassəsinə əsasən(üçbucaq aksiomu)
,
üçün 
olar. Bu isə o deməkdir ki,
ardıcıllığı fundamentaldır. Teorem isbat olundu.
Ümumuiyyətlə desək, bir çox fəzalarda fundamental ardıcıllıq yığılan olmaya da bilər.
Tərif
2:
Tutaq ki, (
metrik fəzası verilmişdir. Əgər bu fəzadan götürülmüş
istənilən fundamental ardıcıllıq yığılan olarsa, bu fəzaya
tam
metrik fəza
deyilir.
Bəzi ədəbiyyatlarda tam metrik fəzaya dolu metrik fəza da deyilir.
Misal
:
parçasında təyin olunmuş kəsilməz funksiyalar sinfi
normasına
görə tam metrik fəzadır. Doğrudan da istənilən fundamental 
ardıcıllığı götürək. Onda tərifə əsasən
ədədinə
görə
nömrəsi var ki,
və
üçün
olar.
Deməli, (1) şərti müntəzəm olaraq ödənilir. Aydındır ki,
hər bir qeyd olunmuş 
ədədi ardıcıllığı fundamentaldır. Onda ədədi ardıcıllıqlar
üçün məlum olan Koşi meyarına əsasən, hər bir qeyd olunmuş
ardıcıllığı yığılan olar.
işarə
edək. (1) şərtində 
olduqda limitə keçsək, alarıq ki,
ədədinə
görə
nömrəsi var ki,
və 
üçün
olar. Bu isə o deməkdir ki, 
funksional ardıcıllığı x(t) funksiyasına müntəzəm yığılır.
Onda
olduğundan 
olar. Deməli,
-də
hər bir fundamental ardıcıllıq yığılandır. Bu isə o deməkdir
ki,
tam metrik fəzadır.