Контрольное задание №3
Постановка задачи
Для каждого из нижеприведенных вариантов заданий требуется:
а) сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде ЗЛП;
б) привести ЗЛП к канонической форме;
в) решить задачу с помощью симплекс-таблиц;
г) сформулировать экономико-математическую модель задачи двойственной к исходной;
д) найти решение двойственной задачи опираясь на основные теоремы теории двойственности;
е) провести анализ полученных решений;
ж) решить задачу контрольного задания с помощью ППП и оформить ее в соответствии с методическими указаниями, приведенными в разделе 6.2.
Вариант 21.
Для поддерживания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять не менее 118г белков, 56г жиров, 500г углеводов, 8г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых продуктов, а также цена 1кг каждого из этих продуктов приведены в следующей таблице:
-
Питательные
вещества
Содержание (г) питательных веществ в 1кг продуктов
мясо
рыба
молоко
масло
сыр
крупа
картоф.
белки
180
190
30
10
260
130
21
жиры
20
3
40
865
310
30
2
углеводы
—
—
50
6
20
650
200
минеральные соли
9
10
7
12
60
20
10
Цена 1кг продуктов (усл. ден. ед.)
1.8
1.0
0.28
3.4
2.9
0.5
0.1
Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы потребности человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей стоимости потребляемых продуктов.
Решение: обозначим через х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7 содержание питательных веществ в 1кг продуктов. Стоимость потребляемых продуктов Z=c1*x1 + c2*x2 + c3*x3 + c4*x4 + c5*x5 + c6*x6 + c7*x7 мы должны определить х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7 так, чтобы величина Z была минимальной. Переменные х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7 не могут принимать произвольных значений. Их значения ограничены минимальной суточной потребностью человека в необходимых питательных веществах. Из первого вида продукции на потребление белков требуется 180*х1, второго 190*х2, и т.д. Поскольку общее количество белков в день не менее 118 г., то величины х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7 должны удовлетворять неравенству 180*х1 + 190*х2 + 30*х3 + 10*х4 + 260*х5 + 130*х6 + 21*х7 118 аналогично можно получить неравенства для жиров, углеводов и минеральных солей: 20*х1 + 3*х2 + 40*х3 + 865*х4 + 310*х5 + 30*х6 + 2*х7 56, 50*х3 + 6*х4 + 20*х5 + 650*х6 + 200*х7 500 и 9*х1 + 10*х2 + 7*х3 + 12*х4 + 60*х5 + 20* х6 + 10*х7 8. кроме того, величины х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7 не могут быть отрицательными.
Таким образом, задача заключается в нахождении точки минимума функции Z среди точек с координатами х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, которые удовлетворяют указанным неравенствам. Задача кратко записываются следующим образом:
(3.1)
Одна и та же задача линейного программирования может быть сформулирована в различных эквивалентных формах. Наиболее важными формами являются каноническая и стандартная.
В канонической форме ставится задача на минимум некоторой линейной функции Z, а ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи X1,X2,..,Xn являются неотрицательными:
(3.2)