Вправи для самостійного розв’язування 296

Розділ 4. ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ 314

4.1. Послідовності 314

4.1.1. Основні означення 314

4.1.2. Обмежені та монотонні послідовності 315

4.1.3. Збіжні та розбіжні послідовності 317

4.1.4. Властивості збіжних послідовностей 318

4.1.5. Число е 321

4.1.6. Наближене обчислення числа е 323

4.1.7. Економічна інтерпретація числа е 324

4.1.8. Лема про вкладені відрізки 325

4.1.9. Частинні послідовності 325

4.1.10. Теорема Бореля 327

4.1.11. Принцип збіжності Больцано—Коші 329

4.1.12. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності 330

4.1.13. Теореми про границі 332

4.1.14. Границя відношення двох многочленів 335

4.1.15. Добування квадратного кореня 335

4.2. Границя функції 337

4.2.1. Поняття границі функції 337

4.2.2. Ліва та права границі функції 339

4.2.3. Теореми про границі функції 340

4.2.4. Перша визначна границя 341

4.2.5. Друга визначна границя 343

4.2.6. Формула Ейлера 345

4.3. Неперервність функції 346

4.3.1. Основні поняття 346

4.3.2. Властивості неперервних функцій 349

4.3.3. Розриви функції 350

4.3.4. Методика дослідження функції y = f (x) на неперервність 351

4.3.5. Наслідки з формул для визначних границь 352

4.3.6. Порівняння нескінченно малих величин 353

4.3.7. Шкала еквівалентних нескінченно малих величин 356

4.3.8. Властивості функцій неперервних на відрізку 357

4.3.9. Рівномірна неперервність 360

Вправи для самостійного розв’язування 362

Розділ 5. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ 373

5.1. Похідна 373

5.1.1. Поняття похідної 373

5.1.2. Похідні основних елементарних функцій 375

5.1.3. Правила диференціювання 378

5.1.4. Похідна оберненої функції 381

5.1.5. Похідна складної функції 383

5.1.6. Логарифмічна похідна 385

5.1.7. Похідна неявної функції 386

5.1.8. Похідна функції, заданої параметрично 386

5.1.9. Логарифмічне диференціювання 388

5.1.10. Похідна показниково-степеневої функції 388

5.1.11. Похідні вищих порядків 390

5.1.12. Правила знаходження похідних п-го порядку 390

5.1.13. Неперервність та диференційовність функції. Похідні зліва та справа 392

5.1.14. Механічний та геометричний зміст похідної 393

5.1.15. Рівняння дотичної та нормалі до кривої 395

5.1.16. Економічний зміст похідної. Еластичність 397

5.2. Диференціал 401

5.2.1. Поняття диференціала 401

5.2.2. Правила обчислення диференціала 403

5.2.3. Інваріантність форми першого диференціала функції 404

5.2.4. Таблиця диференціалів 405

5.2.5. Диференціали вищих порядків 406

5.3. Основні теореми про диференційовні функції («Французькі» теореми) 408

5.3.1. Теорема Ферма 408

5.3.2. Теорема Ролля 409

5.3.3. Теорема Лагранжа 411

5.3.4. Теорема Коші 412

5.3.5. Узагальнення теореми про скінченний приріст. Формула Тейлора 415

5.3.6. Застосування формули Тейлора в економічних задачах 417

5.3.7. Розклад основних елементарних функцій за формулою Тейлора 419

5.3.8. Розклад за формулою Тейлора деяких часто застосовуваних функцій 422

5.3.9. Обчислення радикалів 423

5.3.10. Інтерполювання функції 425

5.4. Застосування диференціального числення до обчислення границь 426

5.4.1. Правило Лопіталя 426

5.4.2. Застосування правила Лопіталя для розкриття невизначе- ностей виду [0 · ], [ – ], [1^], [], [0]. 431

5.5. Опуклі функції 434

5.5.1. Опуклі множини на площині 434

5.5.2. Поняття про опуклі та вгнуті функції 436

5.5.3. Ознаки опуклості та вгнутості функцій. Строго опуклі і строго вгнуті функції 437

5.5.4. Властивості опуклих та вгнутих функцій 440

5.5.5. Критерії опуклості та вгнутості диференційовних функцій 441

5.5.6. Точки перегину 444

5.5.7. Необхідна і достатня умови існування точок перегину 445

5.6. Дослідження функцій 446

5.6.1. Дослідження функцій за допомогою елементарних властивостей 446

5.6.2. Ознака сталості диференційовних функцій 447

5.6.3. Зростання і спадання функції в точці і на проміжку 447

5.6.4. Ознаки монотонності диференційовних функцій 448

5.6.5. Дослідження диференційовної функції на монотонність 449

5.6.6. Поняття максимуму та мінімуму на множині 450

5.6.7. Поняття максимуму і мінімуму функції в точці (локальний екстремум) 451

5.6.8. Необхідна умова екстремуму. Стаціонарні і критичні точки функції 452

5.6.9. Достатні умови строгого екстремуму 452

5.6.10. Найбільше і найменше значення функції на проміжку (абсолютний екстремум) 455

5.7. Загальний план дослідження функції і побудова графіків 457

5.7.1. Побудова графіка функції на основі результатів І-го рівня дослідження функції 457

5.7.2. Асимптоти кривої 463

5.7.3. Загальний план дослідження функції 468

5.7.4. Дослідження та побудова графіка функції, заданої параметрично 471

5.8. Застосування похідної для дослідження динаміки функції 473

5.8.1. Основні задачі 473

5.8.2. Економічне застосування диференціала. Мультиплікатор 477