2. Расчетная часть

 

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности в отчетном году (выборка 20%-ная, механическая).

Таблица 1

№ предприятия	Фонд заработной платы, млн. руб.	Среднесписочная численность работников, чел.
1	11,340	162
2	8,112	156
3	15,036	179
4	19,012	194
5	13,035	165
6	8,532	158
7	26,400	220
8	17,100	190
9	12,062	163
10	9,540	159
11	13,694	167
12	21,320	205
13	16,082	187
14	10,465	161
15	4,320	120
16	11,502	162
17	16,356	188
18	12,792	164
19	17,472	192
20	5,850	130
21	9,858	159
22	11,826	162
23	18,142	193
24	8,848	158
25	13,944	168
26	23,920	208
27	13,280	166
28	22,356	207
29	10,948	161
30	15,810	186
ИТОГО	418,954	5190

 

Задание 1

Признак – среднегодовая заработная плата (определите как отношение фонда заработной платы к среднесписочной численности работников)

Число групп – пять.

По исходным данным таблицы 1:

1.  Построим статистический ряд распределения предприятий по признаку среднегодовая заработная плата, образовав пять групп с равными интервалами.

2.  Построим графики полученного ряда распределения. Графически определим значения моды и медианы.

3. Рассчитаем характеристики ряда распределения: среднее арифметическое, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4.  Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным, сравним ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения. Объясним причину их расхождения.

Сделаем выводы по результатам выполнения задания.

Решение:

1. Построим статистический ряд распределения предприятий по уровню среднегодовой заработной платы, образовав пять групп с равными интервалами.

Уровень среднегодовой заработной платы определим как отношение фонда заработной платы к среднесписочной численности работников.

Таблица 2

№ предприятия	Среднегодовая заработная плата, тыс. руб.
1	70
2	52
3	84
4	98
5	79
6	54
7	120
8	90
9	74
10	60
11	82
12	104
13	86
14	65
15	36
16	71
17	87
18	78
19	91
20	45
21	62
22	73
23	94
24	56
25	83
26	115
27	80
28	108
29	68
30	85

Ширина интервала рассчитывается по формуле:

i

где  Х_max и Х_min – наибольшее и наименьшее значения признака;

n – число групп.

Отсюда путем прибавления величины интервала к минимальному уровню признака в группе получим следующие группы предприятий по уровню среднегодовой заработной платы.

Таблица 3

Распределение предприятий по уровню среднегодовой заработной платы

№ п/п	Группы предприятий по уровню среднегодовой заработной платы, тыс. руб.	Число предприятий	Удельный вес, %
1	36 – 52,8	3	10,0
2	52,8 – 69,6	6	20,0
3	69,6 – 86,4	12	40,0
4	86,4 – 103,2	5	16,7
5	103,2 – 120	4	13,3
	ИТОГО	30	100,0

Данная таблица показывает, что большинство предприятий имеют среднегодовую заработную плату от 69,6 – 86,4 тыс. руб.

2. Построим графики полученного ряда распределения и графически определим значения моды и медианы.

Мода – значение признака наиболее часто встречающихся в изучаемой совокупности.

, где

– нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

График моды

Медиана – варианта, расположенная в середине вариационного ряда, которая делит его на 2 равные части.

, где

– сумма накопленных частот, предшествующего медианному интервалу;

– частота медианного интервала;

- сумма частот ряда.

Таблица 4

№ п/п	Группы предприятий по уровню среднегодовой заработной платы, тыс. руб.	Число предприятий	Накопленная частота
1	36 – 52,8	3	3
2	52,8 – 69,6	6	3+6=9
3	69,6 – 86,4	12	9+12=21
4	86,4 – 103,2	5	21+5=26
5	103,2 – 120	4	26+4=30
	ИТОГО	30

График медианы

3. Для расчета характеристик ряда распределения составим расчетную таблицу:

Таблица 5

№ п/п	Группы предприятий по уровню среднегодовой заработной платы, тыс. руб.		Численность работников, чел.	Расчетные графы
		х (середина интервала)	f	Фонд заработной платы xf	(x-xср)2*f
1	36 – 52,8	44,4	406	18026,4	538318,067
2	52,8 – 69,6	61,2	956	58507,2	367744,299
3	69,6 – 86,4	78	2031	158418	16071,240
4	86,4 – 103,2	94,8	957	90723,6	187223,814
5	103,2 – 120	111,6	840	93744	796185,070
	ИТОГО	–	5190	419419,2	1905542,490

Среднее арифметическое ряда:

Среднеквадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

Анализ полученных данных говорит о том, что группы предприятий по среднегодовой заработной плате отличается от среднего значения распределения предприятий на 23,7 %, значение коэффициента вариации не превышает 33%, что позволяет сделать вывод об относительно не высокой колеблемости признака, о надежности средней величины.

4. Вычислим средний уровень среднегодовой заработной платы по исходным данным, путем деления общего фонда заработной платы на суммарную численность работников:

Полученные расчеты 80,723 тыс. руб. отличается от аналогичного показателя 80,813 тыс. руб. потому, что в одном случае в количестве расчета средней учитывали каждое значение признака из 30 заданных, а в другом – в качестве значения признаков в группах принимали середины интервалов.

 

Задание 2

По исходным данным таблицы 1:

1.  Установим наличие и характер связи между признаками фонд заработной платы и среднегодовая заработная плата, образовав пять групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2.  Измерим тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделаем выводы.

Решение:

1. а) Чтобы установить наличие и характер связи между фондом заработной платы и среднегодовой заработной платой методом аналитической группировки, построим группировку по факторному признаку, образовав 5 групп.

Ширина интервала для факторного признака равна:

i =

Таблица 6

№ п/п	Группы предприятий по размеру фонда заработной платы, млн. руб.	№ организации	Фонд заработной платы, млн. руб.	Средне- списочная численность работников, чел.	Средне- годовая заработная плата, тыс. руб.	Расчетная графа
			xi	zi	yi	(yi -  .)2
1	4,32–8,736	2	8,112	156	52	825,011
		6	8,532	158	54	714,119
		15	4,320	120	36	2000,147
		20	5,850	130	45	1276,133
	ИТОГО	4	26,814	564	46,75	–
2	8,736–13,152	1	11,340	162	70	114,983
		5	13,035	165	79	2,970
		9	12,062	163	74	45,199
		10	9,540	159	60	429,442
		14	10,465	161	65	247,213
		16	11,502	162	71	94,537
		18	12,792	164	78	7,415
		21	9,858	159	62	350,551
		22	11,826	162	73	59,645
		24	8,848	158	56	611,227
		29	10,948	161	68	161,875
	ИТОГО	11	122,216	1776	68,727	–
3	13,152–17,568	3	15,036	179	84	10,739
		8	17,100	190	90	86,063
		11	13,694	167	82	1,631
		13	16,082	187	86	27,847
		17	16,356	188	87	39,401
		19	17,472	192	91	105,617
		25	13,944	168	83	5,185
		27	13,280	166	80	0,523
		30	15,810	186	85	18,293
	ИТОГО	9	138,774	1623	85,333	–
4	17,568–21,984	4	19,012	194	98	298,495
		12	21,320	205	104	541,819
		23	18,142	193	94	176,279
	ИТОГО	3	58,474	592	98,667	–
5	21,984–26,4	7	26,400	220	120	1542,683
		26	23,920	208	115	1174,913
		28	22,356	207	108	744,035
	ИТОГО	3	72,676	635	114,333	–
	ВСЕГО	30	418,954	5190	–	11713,99

 

Для установления наличия и характера связи между размером фонда заработной платы и уровнем заработной платы по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу:

Таблица 7

№ п/п	Группы предприятий по размеру фонда заработной платы, млн. руб.	Число организаций	Фонд заработной платы, млн. чел.		Средне- списочная численность работников, чел.	Средне- годовая заработная плата, тыс. руб.
			всего	в среднем на 1 организацию	всего	в среднем на 1 организацию
		nj	xj		zj
11	4,32–8,736	4	26,814	6,704	564	46,75
22	8,736–13,152	11	122,216	11,111	1776	68,727
у3	13,152–17,568	9	138,774	15,419	1623	85,333
44	17,568– 21,984	3	58,474	19,491	592	98,667
55	21,984–26,4	3	72,676	24,225	635	114,333
	ИТОГО	30	418,954	= 13,965	5190	=80,723

Вычислим общее среднее значение каждого признака в совокупности:

(млн. руб.)

(тыс. руб.)

Данные таблицы показывают, что с ростом фонда заработной платы среднегодовая заработная увеличивается, следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

б) Установим наличие и характер связи между фондом заработной платы и среднегодовым уровнем заработной платы методом корреляционной таблицы.

Составим корреляционную таблицу, образовав пять групп с равными интервалами по обоим признакам.

Корреляционная таблица – специальная таблица, в которой представлена группировка по двум взаимосвязанным признакам:

№	Группы предприятий по уровню среднегодовой заработной плате, тыс. руб.	Группы предприятий по размеру фонда заработной платы, млн. руб.					ИТОГО
		4,32–8,736	8,736–13,152	13,152–17,568	17,568–21,984	21,984–26,4
1	36 – 52,8	3					3
2	52,8 – 69,6	1	5				6
3	69,6 – 86,4		6	6			12
4	86,4 – 103,2			3	2		5
5	103,2 – 120				1	3	4
	ИТОГО	4	11	9	3	3	30

i (тыс. руб.)

Как видно из таблицы, распределение числа предприятий произошло вдоль диагонали, проведенной из левого угла в нижний правый угол таблицы, что свидетельствует о наличии тесной прямой корреляционной связи между изучаемыми признаками.

2. Измерим тесноту связи между исследуемыми признаками с использованием эмпирического корреляционного отношения:

, коэффициент детерминации

δ² – межгрупповая дисперсия;

σ² – общая дисперсия.

Таблица 9

Группы предприятий по уровню среднегодовой заработной платы, тыс. руб.	Число предприятий	Фонд заработной платы, млн. чел.,
36 – 52,8	3	8,112; 4,320; 5,850	6,094	2261211,982
52,8 – 69,6	6	8,532; 9,540; 10,465; 9,858; 8,848; 10,948	9,699	4822454,599
69,6 – 86,4	12	11,340; 15,036; 13,035; 12,062; 13,694; 16,082; 11,502; 12,792; 11,826; 13,944; 13,280; 15,810	13,367	9214303,225
86,4 – 103,2	5	19,012; 17,100; 16,356; 17,472; 18,142	17,616	3811246,231
103,2 – 120	4	26,400; 21,320; 23,920; 22,356	23,499	2750652,388
		ИТОГО		22859868,425

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию между группами. Ее рассчитываем по формуле:

= – межгрупповая дисперсия

Таблица 10

162	6605,951
156	5666,627
179	9658,369
194	12831,679
165	7102,613
158	5971,735
220	19398,083
190	11941,463
163	6769,505
159	6127,289
167	7443,721
205	15444,773
187	11294,801
161	6444,397
120	1542,683
162	6605,951
188	11508,355
164	6935,059
192	12382,571
130	2428,223
159	6127,289
162	6605,951
193	12606,125
158	5971,735
168	7617,275
208	16199,435
166	7272,167
207	15945,881
161	6444,397
186	11083,247
Итого:	Итого:
5190	258047,828

– общая дисперсия

= 51,21 %

Коэффициент детерминации показывает, что среднесписочная численность работников на 51,21 % зависит от фонда заработной платы.

Вычислим эмпирическое корреляционное отношение:

, что свидетельствует о существенном влиянии среднесписочной численности работников на фонд заработной платы.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1.  Ошибку выборки среднегодовой заработной платы и границы, в которых будет находиться уровень среднегодовой заработной платы в генеральной совокупности.

2.  Ошибку выборки доли организаций с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение:

1. Так как выборка 20% механическая, то применяется бесповторная выборка. Средняя ошибка определяется по формуле:

, где

n = 30 (организаций)

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

= 9,790*2 = 19,58 , где

где t – коэффициент доверия.

Для доверительной вероятности 0,954 он равен: t = 2.

Доверительный интервал определяется выражением:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднегодовая заработная плата заключается в пределах от 61,143 до 100,303.

2. Доли предприятий с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб. и более находятся в пределах:

или 30,0 %

где m – количество организаций с уровнем заработной платы 86,4 тыс. руб. и более.

m = 5 + 4 = 9

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий со среднегодовой заработной платой 86,4 тыс. руб. и более будет находиться в пределах от 0,2944 до 0,3056 %.

Задание 4

Имеются следующие данные по двум организациям:

Таблица 11

Организация	Базисный период		Отчетный период
	Средняя заработная плата, руб.	Среднесписочная численность работников, чел.	Средняя заработная плата, руб.	Фонд заработной платы, тыс. руб.
№1	5000	100	6500	682,5
№2	5600	100	8000	760,0

 

Определите:

1.  Индексы динамики средней заработной платы по каждой организации.

2.  По двум организациям вместе:

- индексы средней заработной платы переменного, постоянного состава и структурного сдвигов;

- абсолютное изменение средней заработной платы в целом и за счет отдельных факторов;

- абсолютное изменение фонда заработной платы вследствие изменения среднесписочной численности работников, средней заработной платы и двух факторов вместе.

Сделайте выводы.

Решение:

1. Индексы динамики средней заработной платы равны:

В организации № 1:

If

В организации № 2:

If

где f₀ и f₁ – заработная плата соответственно в базисном и отчетном периодах.

Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом средняя заработная плата в организации №1 увеличилась на 30 %, а во второй организации – на 42,9 %.

2. Для дальнейших расчетов составим расчетную таблицу:

Таблица 12

Организация	Базисный период				Отчетный период
	Средняя заработная плата, руб.	Среднесписочная численность работников, чел.	Фонд заработной платы, руб.	Средняя заработная плата, руб.			Среднесписочная численность работников, чел.	Фонд заработной платы, руб.
	f0	T0	f0T0	f1			T1	f1T1	f0T1
№1	5000	100	500000	6500			105	682500	525000
№2	5600	100	560000	8000			95	760000	532000
ИТОГО	–	200	1060000	–			200	1442500	1057000

а) Индекс средней заработной платы переменного состава равен:

If = : = : =

Индекс средней заработной платы постоянного состава равен:

If = : = : =

Индекс структурных сдвигов равен:

If = : =

б) Абсолютное изменение средней заработной платы составило:

Df = 7212,5 – 5300 = 1912,5 (руб.)

Абсолютное изменение средней заработной платы за счет изменения заработной платы по каждой организации отдельно составило:

Df(f) = 7212,5 – 5285 = 1927,5 (руб.)

Абсолютное изменение средней заработной платы за счет структурных сдвигов в численности работников составило:

Df(стр) = 5285 – 5300 = -15 (руб.)

Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным средняя заработная плата по двум организациям увеличилась на 1912,5 руб. или на 36,1 %. Это произошло под влиянием двух факторов.

Во-первых, за счет увеличения заработной платы в каждой организации в отдельности средняя заработная плата по двум организациям вместе увеличилась на 1927,5 руб. или на 36,5 %.

Во-вторых, за счет структурных изменений в численности работников средняя заработная плата по двум организациям сократилась на 15 руб. или на 0,3 %.

в) Абсолютное изменение фонда заработной платы составило:

- вследствие изменения среднесписочной численности работников:

DF(T) = ∑f₀T₁ - ∑f₀T₀ = 1057000 – 1060000 = - 3000 (руб.)

- вследствие изменения средней заработной платы:

DF(f) = ∑f₁T₁ - ∑f₀T₁ = 1442500 – 1057000 = 385500 (руб.)

- за счет двух факторов вместе:

DF = ∑f₁T₁ - ∑f₀T₀ = 1442500 – 1060000 = 382500 (руб.)

Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным фонд заработной платы по двум организациям в целом увеличился на 382500 руб. Это произошло под влиянием двух факторов. Во-первых, за счет сокращения среднесписочной численности работников фонд заработной платы сократился на 3000 руб. Во-вторых, за счет повышения средней заработной платы фонд заработной платы увеличился на 385500 руб.