Свойства преобразования Лапласа
1 Теорема единственности. Если два изображения F (р) и Φ (р) совпадают, то совпадают между собой и соответствующие им оригиналы во всех точках, за исключением, быть может, точек разрыва. То есть, если
F (p) = L{f(t)}, Ф (p) = L{φ (t)} и F (p) ≡ Ф (p), то f (t) ≡ φ (t)
во всех точках непрерывности f (t).
2 Теорема линейности. Если f (t) = L–1{F (p)}, g (t) = L–1{G (p)} для любых действительных или комплексных постоянных с1 и с2
с1f (t) + с2g (t) = с1 L–1{F (p)} + с2 L–1{G (p)}, Re p > s0(k) (k = 1,2,)
т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.
3. Теорема подобия. Если f (t) = L–1{F (p)}, Re p > s0, то для любого числа а > 0
f (аt) = 
L–1{
},
Re p > аs0,
т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.
4. Теорема запаздывания. Если f (t) = L–1{F (p)}, Re p > s0, то для любого положительного числа τ
f (t – τ) = e– рτ L–1{F (p)}, Re p > s0.
5. Теорема о смещении изображения (затухания). Если
f (t) = L–1{F (p)}, Re p > s0, то для любого действительного или комплексного числа α
eαtf (t) = L–1{F(р – α)}, Re (р – α) > s0,
т.е. умножение оригинала на функцию eαt, влечёт за собой «смещение» переменной p.
6.
Теорема
дифференцирования оригинала.
Если функции
f(t),
f
(t),
… , f
(t)
являются
функциями-оригиналами, то
f / (t) = p L–1{F (p)} – f (0),
f
//
(t) = p
L–1{F (p)}-p
f
(0) – f
/
(0),
…
f
(t) = p
L–1{F (p)} – p
f(0) – p
f
/
(0)-…-f
(0).
Величина
f
(0),
k=0,
1,
… , n-1,
понимается как
f
(t).
7.
Теорема
об интегрировании оригинала. Если
функция f (t)
является оригиналом и f (t) = L–1{F (p)}
то функция g(t) = 
также является оригиналом и g(t) = 
L–1{F (p)}
т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.
На основании определений оригинала и изображения и основных свойств преобразований Лапласа можно составить таблицу основных формул соответствия (таблица 1).
Таблица 1 – Таблица основных формул соответствия
Номер формулы |
Оригинал |
Изображение |
1 |
1 |
|
2 |
eαt |
|
3 |
sin ωt |
|
4 |
cos ωt |
|
5 |
sh ωt |
|
6 |
ch ωt |
|
7 |
t |
|
8 |
tn |
|
9 |
tn∙eαt |
|
10 |
t∙sin ωt |
|
11 |
t∙cos ωt |
|
Задание
1 . Найти
изображение функции
,
используя основные свойства (теоремы)
преобразования Лапласа.
Решение. Найдем изображение каждого из слагаемых функции . Из таблиц соответствия известно, что:
1 = L–1{ }.
По теореме об интегрировании оригинала имеем
.
Так
как
,
то
.
Тогда по теореме о смещении изображения
(затухания) получим
.
Применяя теорему подобия, находим
.
Для
нахождения изображения функции
применим теорему о дифференцировании
изображения. Получим
.
Далее, применяя теорему линейности преобразования Лапласа, получим
= 2
L–1{
} + 
+ 
+ 
.
Следовательно,
.
Задание
2. Найти
оригинал f(t)
по изображению
.
Решение.
Используя
табличные операционные соотношения
и свойства линейности, получаем
.
Задание
3. Найти
изображение дифференциального выражения
y (t) = L–1{Y (p)}
Решение. На основании свойства дифференцирования оригинала получаем:
= p
L–1{Y (p)} – y
(0),
Используя свойство линейности, находим
,
Применение операционного исчисления к решению линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и
непрерывной правой частью
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
,
(1)
f (t) – непрерывная функция действительного переменного.
Требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
(2)
где
–
заданные числа (задача Коши).
Будем
предполагать, что функция f (t)
является оригиналом. Искомую функцию
y (t)
и её производные
также предполагаем оригиналами. Полагаем
f (t) = L–1{F (p)},
y (t) = L–1{Y (p)}.
Для решения поставленной задачи (1), (2) перейдём от уравнения (1) к изображающему (или операторному) уравнению, связывающему изображения Y (p) и F (p).
Применяя два раз теорему о дифференцировании оригинала, получим:
Далее, применяя теорему линейности перейдём от уравнения (1) к операторному уравнению:
.
(3)
Из
уравнения (3) выразим
.Искомое
частное решение y(t)
является оригиналом, соответствующим
данному изображению. Оно определяется
с помощью таблиц соответствия.
Задание
4.
Найти частное решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям:
Решение. Обозначим через y (t) искомое частное решение, через Y(p) – его изображение. Тогда:
Операторное уравнение будет иметь вид
откуда
.
Дробь
разложим на сумму простых элементарных
дробей и найдем коэффициенты разложения:
Из системы:
Откуда
.
Тогда
.
Используя
таблицы соответствия, найдём:
Таким
образом, искомое частное решение:
