§ 1.2. Математические модели излучения фоновых образований

Пеленгация объектов в реальных условиях происходит на излучающем фоне, который представляет собой различные природные образования. Коэффициенты излучения и отражения этих образований распределены в пространстве случайным образом. Поэтому распределение энергетической яркости точек фона является случайной функцией координат. Все существующие фоновые образования настолько разнообразны, что описать их с помощью небольшого числа характеристик невозможно. Чтобы исследовать системы пеленгации, все многообразие фонов разбивается на ряд множеств, и используются характеристики, описывающие отдельные множества. В свою очередь каждое такое множество состоит из большого числа составляющих это множество членов, которые отличаются друг от друга значением параметров характеристик, являющихся вариациями в пределах данного множества. Например, земная поверхность может различаться покровом (песок, трава, пашня, снег и т.д.), где каждый покров имеет свои значения энергетической яркости в зависимости от времени года, суток, метеоусловий и т.д. Однако каждый покров как фоновое образование будет являться представителем множества "земная поверхность".

Если в рассматриваемый момент времени в угловом поле системы пеленгации одновременно будут присутствовать участки фонов, которые принадлежат различным множествам, то “макроструктура” изображения фона в плоскости анализа будет обусловлена именно переходами от одного типа фона к другому. Например, от земной поверхности к небосводу (линия горизонта), от чистого небосвода к облачности (граница облачности). Таким переходам соответствуют высокие значения градиентов энергетической яркости.

Когда оптическая система пеленгации воспринимает излучение фона, принадлежащего к одному какому-либо множеству, т.е. в угловое поле системы не попадают линии разделов отдельных множеств, то распределение яркости фона близко к нормальному. В этом случае статистическими характеристиками случайной функции распределения яркости точек фона являются:

математическое ожидание двухмерной функции яркости

;

дисперсия

;

корреляционная функция

где ;

Математическое ожидание характеризует не только принадлежность к тому или иному множеству, но и условия освещенности, состояния атмосферы, времени года и суток и.т.д. Дисперсия случайной двумерной функции яркости фона, характеризующая средний квадрат отклонения яркости точек фона от ее математического ожидания, является характеристикой контраста элементов фона.

Корреляционная функция отражает степень связи между собой значений яркости двух соседних точек с координатами и . Функция корреляции показывает, как скоро убывает связь между значениями яркости, и тем самым характеризует как оптические, так и геометрические свойства фона.

В общем случае поле энергетических яркостей фона является нестационарным. Это значит, что его вероятностные характеристики , и зависят от положения начала отсчета координат . Формулы для определения этих характеристик значительно упрощаются, если фон считать стационарным, т.е. таким, статические характеристики которого не зависят от того, с какой точки начинать измерять распределение яркости. Фон в виде чистого небосвода, спокойной водной поверхности, сплошного лесного массива можно считать стационарным в пределах углов поля оптической системы пеленгации, удаленных от направления на Солнце и от линии горизонта. Для таких фонов и постоянны по полю, а корреляционная функция зависит только от разности координат соседних точек:

.

Если вероятностные характеристики яркости излучения фона зависят от угла поворота системы координат, то говорят, что имеет место анизотропия фона (например, яркостное поле вблизи линии горизонта анизотропно). При удалении от линии горизонта яркостное поле, например чистого небосвода вдали от направления на Солнце, становится изотропным. Предположение изотропности фона упрощает математический аппарат исследования работы оптико-электронных приборов (ОЭП) пеленгации, так как позволяет исключить одну из переменных. В этом случае корреляционная функция яркости

,

где .

Для изотропного фона количественной оценкой статистических связей между яркостями соседних точек выступает величина радиуса корреляции

.

Если характеристики случайной функции яркости фона, полученные от одной реализации при осреднении по площади, совпадают с характеристиками, полученными при осреднении по времени от той же реализации, то такой фон обладает свойствами эргодичности.

Стационарные случайные функции яркости излучения фона из-за неизменности во времени их вероятностных характеристик имеют квазипериодический характер. (Считаем, что время работы пеленгационной аппаратуры значительно меньше временных флюктуаций яркости фона из-за суточного вращения Земли.) Это позволяет перенести исследование влияния стационарных случайных функций фона из области пространственных координат в область таких переменных, как пространственные частоты. При этом получаемые результаты полностью эквивалентны результатам, найденным с помощью самих корреляционных функций случайного процесса. При однородном случайном поле яркости спектр корреляционной функции (спектр дисперсий) определяется по формуле

.

Функция делает более наглядным представление о распределении контрастов фона в соответствии с его структурой. Она представляет собой разложение дисперсии случайного поля яркости на сумму элементарных слагаемых, приходящихся на элементарный участок пространственных частот. При этом каждое из элементарных слагаемых есть дисперсия случайного поля. Поскольку дисперсия яркости служит характеристикой контраста фона, спектральная плотность описывает распределение контрастов этого фона по частотам. Для яркостных полей со случайной структурой функция имеет убывающий характер. В технической литературе очень часто обозначается через . Поэтому в дальнейшем будем придерживаться последнего обозначения. Пространственный спектр облачных образований имеет спадающий характер, свойственный совокупности относительно крупноразмерных неоднородностей. Одной из наиболее подходящих его аппроксимаций является выражение

, (1.2)

где - интервалы корреляции фона по соответствующим осям координат.

В полярной системе координат для этого фона (при ) имеем

,

где - дисперсия яркости фона; - радиус корреляции фона.

Для квазиизотропного фона, у которого статистические свойства одинаковы лишь по двум ортогональным осям (ox и oy), выражение для функции имеет вид

. (1.3)

Для изотропного фона, в котором мелкие неоднородности играют существенную роль,

. (1.4)

По экспериментальным данным радиус корреляции облачного неба имеет значение менее 2° (от 30’ до 1°30'). При этом с увеличением длин волн рабочего участка спектра в расчете следует принимать большие значения радиусов корреляции (близкие к минимальным - в диапазоне , и к максимальным - в диапазоне ).

В табл. 1.1. приведены экспериментальные данные по математическому ожиданию энергетической яркости (в ) в различных спектральных диапазонах некоторых фоновых образований.

Таблица 1.1

Фоновые образования
	=3.6...5.2 мкм	=8...14мкм
Ясное небо летом	1,51	17,0
Облачное небо летом	1,56	41,0
Кучевые облака	2,35	30,4
Водная поверхность	0,55	54,4
Снежный покров	0,11	24,72
Лес летом	0,63	20,1
Почва летом	0,62	20,6

В табл. 1.2. приведены значения (в ) для фоновых образований в различных спектральных диапазонах.

Таблица 1.2

Фоновые образования
	1,8...3,5	3,6 …5,.2	4,5...5,5
Тундра
Снежный покров
Степь