X. Линейные и нелинейные магнитные цепи постоянного тока

10.1. Связь между магнитным полем и электрическим током. Закон Био-Савара-Лапласа. Закон полного тока

Вспомним основные сведения, касающиеся магнитного поля. Магнитное поле характеризуется двумя векторными величинами: напряжённостью и магнитной индукцией .

Связь между ними дается уравнением , где μ – магнитная проницаемость среды, в которой рассматривается магнитное поле . μ – скалярная величина для изотропной среды и тензорная величина для анизотропной среды.

Для воздуха и пустоты справедливо следующее уравнение: ,

μ₀ =4π10^-7 - магнитная постоянная.

μ характеризует реакцию среды на внешнем магнитном поле.

Если < 1, то среда диамагнитная (как идеальный диамагнетик ведет себя сверхпроводящий материал, для которого = 0).

Если ≥ 1, то имеем дело с парамагнетиком; для ферромагнитных материалов, например, для электротехнической стали, - >> 1.

Магнитное поле создаётся электрическим током. Связь между указанными величинами в пустоте описывается законом Био-Савара-Лапласа (рис. 10.1).

.

Б олее универсален закон полного тока. Он имеет силу как в пустоте, так и в среде, содержащей вещества (например, ферромагнетики)

.

Интеграл вектора вдоль замкнутого контура «l» (рис. 10.2) равен току, охваченному этим контуром. Направление интегрирования и тока в уравнении закона полного тока должны удовлетворять правилу правого винта.

З акон полного тока для данного случая записывается следующим образом:

.

Пример. Записать выражение для напряженности магнитного поля, созданного линейным током (рис. 10.3).

, отсюда .

В основе расчёта магнитных цепей лежат два понятия: МДС или намагничивающая сила (F) и магнитный поток МДС (Ф). Под МДС вдоль замкнутого контура «l» понимается интеграл вектора вдоль этого контура, т.е.

Согласно закону полного тока F равна току, охваченному этим контуром. Обычно для получения необходимого магнитного поля в качестве источников используют обмотку (катушку) с током. Если контур охватывает такую обмотку с числом витков «w» (рис. 10.4), то МДС вдоль замкнутого контура равна .

К онтур можно представить как совокупность отдельных участков (рис. 10.5). В связи с этим МДС вдоль замкнутого контура можно представить как сумму МДС на отдельных участках:

П од магнитным потоком сквозь площадку S (рис. 10.6) понимается поток вектора сквозь эту площадку, т.е.

.

10.2. Законы и параметры магнитных цепей

Под магнитной цепью понимается совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела и образующих замкнутую цепь, по которой при наличии МДС замыкаются линии магнитной индукции.

а) Закон Ома (магнитный).

Рассмотрим постоянную магнитную цепь (рис. 10.7), содержащую ферромагнитный сердечник с воздушным зазором ( ) и две катушки, насаженные на сердечник. Нарисуем картину магнитного поля.

Поток Ф назовём главным (рабочим) магнитным потоком, Ф_S – потоком рассеяния. Поскольку магнитная проницаемость ферромагнитного сердечника значительно выше магнитной постоянной (~10³ - 10⁴), то при малом воздушном зазоре большая часть магнитных линий замыкается по сердечнику и лишь небольшая часть этих линий ответвляется в воздух, образуя, так называемый, поток рассеяния (Ф_S ). К слову сказать, что Ф>>Ф_S . В связи с этим, Ф_S можно пренебречь. Кроме того, не будем учитывать выпучивание поля в воздушном зазоре. Тогда магнитный поток оказывается одинаковым во всех сечениях ферромагнитного сердечника и воздушного зазора, перпендикулярных магнитным линиям. Поэтому по аналогии с электрической цепью можно ввести понятие магнитной цепи. В этой цепи действуют две физические величины: магнитный поток Ф и создающие его МДС катушек, равные iw, где w – число витков обоих катушек, i – ток в них.

По аналогии с законом Ома для электрической цепи:

,

запишем закон Ома для магнитной цепи в виде:

.

Назовём R_м магнитным сопротивлением

Найдём выражение для R_м. Всю МДС вдоль замкнутой магнитной цепи можно представить в виде суммы МДС на отдельных разнородных участках. В данном случае имеем два таких участках: ферромагнитный сердечник с длиной – l_Fе и воздушный зазор длиной δ. Поперечные сечения этих участков одинаковы и равны друг другу.

Итак .

Согласно формуле ,

где - магнитное сопротивление ферромагнитного сердечника, - магнитное сопротивление воздушного зазора. Вычислим эти величины.

,

.

Итак, в общем виде имеем формулу:

Таким образом, магнитное сопротивление участка магнитной цепи пропорционально средней длине этого участка и обратно пропорционально магнитной проницаемости и сечению этого участка.

б) Законы Кирхгофа (магнитные).

Участок магнитной цепи, в любом поперечном сечении которого Ф имеет одно и тоже значение, называется ветвью, точки, где сходятся не менее трёх ветвей – узлы.

Рассмотрим разветвлённую магнитную цепь. На рис. 10.8 представлена цепь с двумя узлами А и В и тремя ветвями ВСА; АВ и ADB

В каждом узле сумма магнитных потоков равна 0, т.е.

- I закон Кирхгофа (магнитный).

Это аналогично уравнению для узла электрической цепи, составленному по первому закону Кирхгофа .

В рассмотренной схеме .

Для любого замкнутого контура магнитной цепи имеем:

- II закон Кирхгофа (магнитный),

т.е. сумма МДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме произведений магнитного сопротивления на магнитный поток во всех ветвях, входящих в этот контур. Это аналогично уравнению для контура электрической цепи, составленному по второму закону Кирхгофа .

В рассмотренном случае для двух контуров имеем:

, ,

где ; ; .

Если магнитная цепь - сложная с «p» ветвями и «q» узлами, то число независимых уравнений будет равно «p», из них (q-1) уравнений для узлов и p-(q-1) уравнений для контуров.

Таким образом, расчёт магнитных цепей при пренебрежении потоками рассеяния аналогичен расчёту нелинейных электрических цепей. При этом магнитный поток Ф соответствует току i; МДС (iw) – ЭДС ( ), магнитное сопротивление R_м – электрическому сопротивлению R.

Э лектрическая цепь, аналогичная приведённой магнитной цепи, показана на рис. 10.9.

Приведенная аналогия магнитных и электрических цепей формальна. По физическому содержанию законы Ома для магнитных и электрических цепей различаются между собой. В электрической цепи возможно существование постоянной ЭДС без того, чтобы под её действием возникал ток. Напротив, существование МДС всегда связано с одновременным существованием магнитного потока.

Сформулированные законы магнитной цепи, т.е. законы Ома и Кирхгофа, справедливы как для линейных, так и нелинейных магнитных цепей.

Линейными магнитными цепями называются цепи, магнитные сопротивления которых не зависят от напряжённости магнитного поля, т.е. эти сопротивления постоянны. Поэтому расчёт магнитных потоков в таких цепях проводится так же, как и расчёт токов в линейных электрических цепях.

Если магнитные сопротивления магнитной цепи зависят от напряжённости магнитного поля, то такая цепь оказывается нелинейной. Посмотрим, как проводится расчёт в случае нелинейных магнитных цепей.