1 .7. Топологические матрицы графа.

Рассмотрим ориентированный граф (рис. 1.36), соответствующий схеме (рис. 1.30). Составим независимые уравнения Кирхгофа для узлов 1, 2, 3

.

Э

Топологическая матрица

Матрица переменных

ти уравнения можно записать в матричной форме:

.

Элементы топологической матрицы равны +1, -1, 0. Значения этих элементов определяются только структурой графа (схемы).

В соответствии с видом уравнений Кирхгофа различают три топологические матрицы: матрицу соединений (узловую матрицу) , матрицу сечений и матрицу контуров .

Матрица соединений (узловая матрица) - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по I закону Кирхгофа для узлов.

Строки матрицы соответствуют узлам (число строк равно числу независимых узлов, т.е. ), столбцы – ветвям. Если записать , - узловая матрица ( - номер строки, - номер столбца).

Правило составления : , если ветвь соединена с узлом и направлена от узла ; , если ветвь соединена с узлом и направлена к узлу , , если ветвь не соединена с узлом .

Если обозначить

,

то матричная форма уравнений по I закону Кирхгофа для узлов будет

. (1.15)

С помощью матрицы можно выразить напряжения ветвей ( , , …, ) через потенциалы узлов ( , , …, )

, (1.16)

где , , - транспонированная узловая матрица.

Матрица сечений - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по I закону Кирхгофа для сечений. Строки матрицы соответствуют сечениям, столбцы ветвям.

.

, если ветвь содержится в сечении и направлена согласно с направлением сечения (ток ветви дерева направлен наружу замкнутой поверхности). , если ветвь содержится в сечении и направлена противоположно направлению сечения; , если ветвь не содержится в сечении . Число строк матрицы равно - числу независимых контуров.

Если матрица составлена для главных сечений, то ее называют м атрицей главных сечений. При этом за положительное направление сечения берут направление ветви дерева данного сечения (рис. 1.37)

Рис.1.37

,

где , , - независимые сечения

Закон Кирхгофа для сечений в матричной форме:

. (1.17)

Если матрицу напряжений ветвей дерева обозначить через , то

. (1.18)

Матрица контуров - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по II закону Кирхгофа. Строки матрицы соответствуют контурам, столбцы – ветвям.

.

, если ветвь содержится в контуре и направление ветви совпадает с направлением обхода контура; , если ветвь содержится в контуре и ее направление против обхода контура; , если ветвь не содержится в контуре .

Матрицу , записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура.

Число строк матрицы равно числу независимых контуров .

Второй закон Кирхгофа в матричной форме:

, (1.19)

, (1.20)

где - матрица-столбец контурных токов.

Матрицы , , позволяют выразить алгебраическим языком топологию схем, что важно при анализе сложных цепей с помощью компьютера.

Соотношения между топологическими матрицами. Если матрицы , , составлены для одного и того же графа (схемы), то имеет место:

, (1.21)

. (1.22)