5. Двовимірні випадкові величини

5.1. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини

Випадкова величина Х, яка при кожному випробуванні визначається одним можливим числовим значенням, називається одновимірною.

Якщо можливі значення випадкової величини визначаються у кожному випробуванні 2, 3, …, n числами, то такі величини називають відповідно дво-, три-, …, n-вимірними відповідно.

Ми будемо розглядати тільки двовимірні випадкові величини.

Двовимірну випадкову величину будемо позначати (X, Y), при цьому Х та Y, будуть її компонентами. Величини Х та Y, визначені на одному й тому самому просторі елементарних подій і розглядаються одночасно, утворюють систему двох випадкових величин.

Двовимірні випадкові величини бувають дискретними або неперервними (компоненти цих величин відповідно будуть дискретними або неперервними).

У подальшому обмежимось розглядом дискретних двовимірних випадкових величин.

5.1. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини

Означення. Законом розподілу дискретної двовимірної випадкової величини (X, Y) називають перелік можливих значень та їх імовірностей , .

Звичайно закон розподілу двовимірної випадкової величини задають у вигляді таблиці з двома входами:

Y	X
			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

Події , утворюють повну групу, тому сума ймовірностей у цій таблиці дорівнює одиниці, тобто

.

Знаючи закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини, можна записати закони розподілу кожної компоненти окремо:

,

.

5.2. Умовні закони розподілу складових дискретних двовимірних випадкових величин

Умовним розподілом складової Х за умови, що , називають сукупність значень та відповідних їм умовних імовірностей , .

Аналогічно визначається умовний розподіл складової Y за умови, що .

Умовні імовірності складових Х і Y обчислюють за формулами

; .

Приклад. Задана дискретна двовимірна випадкова величина (Х, Y)

X Y	3	6
10	0,25	0,10
14	0,15	0,05
18	0,32	0,13

З найти:

а) умовний закон розподілу Х, якщо ;

б) умовний розподіл Y, якщо .

Розв’язання. Знайдемо спочатку безумовні закони розподілу складових. Додавши імовірності “по стовпцям”, запишемо закон розподілу Х:

Х	3	6	.
P	0,72	0,28

Додавши імовірності “по рядкам”, запишемо закон розподілу Y:

Y	10	14	18	.
P	0,35	0,20	0,45

а) Знайдемо імовірності можливих значень Х за умови, що складова Y набула значення .

;

.

Запишемо умовний закон розподілу Х:

Х	3	6	.

Контроль: .

б) Аналогічно знайдемо імовірності можливих значень Y за умови, що складова Х набула значення .

; ;

.

Запишемо умовний закон розподілу Y:

Y	10	14	18	.

Контроль: .