Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и запишите правила сложения сложения матриц, умножения матрицы на число, умножения 2-х матриц.

2. Запишите правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

3. Перечислите свойства определителей и проверьте их для случая определителя 3-го порядка.

4. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента определителя?

5. Напишите формулу разложения определителя n-го порядка по какой-либо строке или столбцу.

6. Что такое ранг матрицы?

7. Как можно определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы?

8. Сформулируйте определение и этапы вычисление обратной матрицы. Для каких матриц существует обратная матрица?

9. Дайте определение совместной, определённой и неопределённой системы линейных уравнений.

10. Сформулируйте теорему Кронекера - Капелли.

11. Сформулируйте теорему о числе решений совместной системы линейных уравнений.

12. Опишите метод Крамера решения систем линейных уравнений.

13. Раскройте последовательность действий при решении системы линейных уравнений методом Гаусса.

14. Опишите решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

15. Сформулируйте признак существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений.

16. Что такое общее решение неопределённой системы линейных уравнений? Как его получить методом Гаусса?

17. Дайте определение предела функции.

18. Сформулируйте основные теоремы, на которых основано вычисление пределов.

19. Запишите формулы первого и второго замечательных пределов.

20. Сформулируйте основные теоремы о пределах (об единственности предела; о пределе суммы, произведения и частного).

21. Дайте определение производной функции.

22. В чем состоит геометрический смысл производной?

23. Запишите уравнение касательной к графику функции y = f(x) при x = x0.

24. Каков механический смысл производной?

25. Запишите производные простейших элементарных функций.

26. Раскройте правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.

27. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

28. В чем состоит смысл логарифмического дифференцирования? В каких случаях оно применяется?

29. Каковы условия применения правила Лопиталя для вычисления пределов? Раскройте его сущность.

30. Изложите общую схему исследования функции.

31. Сформулируйте правило нахождения промежутков монотонности и отыскания экстремумов функции.

32. Сформулируйте правило отыскания промежутков выпуклости и вогнутости, точек перегиба функции.

33. Дайте определение неопределенного интеграла.

34. Перечислите свойства неопределенного интеграла.

35. Запишите формулы простейших интегралов.

36. Раскройте основные методы интегрирования.

37. Объясните применение формулы Ньютона-Лейбница.

38. Запишите формулы для вычисления площадей фигур с помощью определенного интеграла. Сделайте соответствующие рисунки.

Контрольные тестовые задания

(переаттестация, зимняя сессия, 2013-2014 уч.г.)

Раздел 1. Линейная алгебра.

1. Матрицей размера m x n называется совокупность

а) mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов

б) m+n чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов

в) mn чисел, расположенных в виде строк или столбцов

г) m+n чисел, расположенных в виде строк или столбцов

2. Матрица называется квадратной, если

а) число строк равно числу столбцов

б) число строк не больше числа столбцов

в) число строк не меньше числа столбцов

г) число строк больше числа столбцов

3. Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется

а) квадратной б) прямоугольной

4. Единичной называется матрица, в которой

а) все ее элементы на главной диагонали равны единице, а остальные нулю

б) все ее элементы на главной диагонали равны единице, а остальные любые числа

в) все ее элементы на главной диагонали равны единице

г) все ее элементы на главной диагонали равны единице, а остальные отличны от нуля

5. Единичной матрицей является

а) б) в) г)

6. Умножение двух матриц возможно при условии

а) число столбцов первого сомножителя должно равняться числу строк второго

б) число строк первого сомножителя должно равняться числу столбцов второго

в) число столбцов первого сомножителя должно быть не менее числа строк второго

г) число строк первого сомножителя должно не более числа столбцов второго

7. Матрица называется транспонированной, если

а) ее строки заменены столбцами с такими же номерами

б) ее строки переставлены местами в определенном порядке

в) ее столбцы переставлены в определенном порядке

8. Формула для вычисления определителя матрицы А=

а) б) в) г)

9. Матрица называется обратной к квадратной матрице А, если

а) , где Е – единичная матрица

б) , где Е – единичная матрица

в) , где Е – единичная матрица

г) где Е – единичная матрица

10. Матрица А называется вырожденной, если

а) и обратная матрица для нее не существует

б)

в) обратная матрица для нее не существует

г) и обратная матрица для нее равна единичной

11. Ранг матрицы – это

а) максимальный порядок, отличных от нуля миноров матрицы

б) количество строк матрицы

в) количество столбцов матрицы

г) количество миноров матрицы

12. К элементарным преобразованиям матрицы относятся (выберите несколько вариантов ответа)

а) перестановка двух строк или двух столбцов

б) умножение строки на произвольное ненулевое число

в) умножение столбца на произвольное ненулевое число

г) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число

д) прибавление к элементам столбца соответствующих элементов другого столбца, умноженных на ненулевое число

е) возведение каждого элемента матрицы в одну и ту же степень

ж) извлечение корня квадратного из каждого элемента матрицы

13. Свободными членами системы из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестным и являются

а) б) в)

14. Неизвестными системы из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными являются

а) б) в)

15. Коэффициентами при переменных системы из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными являются

а) б) в)

16. Расширенной матрицей системы является

а) А/В = б) в)

17. Система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг совместной системы

а) равен числу неизвестных б) больше числа неизвестных в) меньше числа неизвестных г) больше или равен числу неизвестных д) меньше или равен числу неизвестных

18. Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если ранг совместной системы

а) равен числу неизвестных б) больше числа неизвестных в) меньше числа неизвестных г) больше или равен числу неизвестных д) меньше или равен числу неизвестных

19. Система линейных уравнений называется однородной, если

а) все ее свободные члены равны нулю б) среди ее свободных членов есть равные нулю в) все ее свободные члены отличны от нуля г) все ее свободные члены равны единице

20. Если матрица системы n уравнений квадратная и ее определитель не равен нулю, то система

а) не имеет решений б) имеет единственное решение в) имеет не более n решений г) имеет ровно n решений д) имеет бесконечно много решений

21. При решении системы по правилу Крамера используют формулы

а) б) в) г) д)

22. Если матрица  , то матрица 4A имеет вид

а) б) в) г) д)

23. Если матрицы   и  , то матрица 3A – 2B имеет вид

а) б) в) г) д)

24. Сумма элементов, расположенных на главной диагонали для матрицы   .

а) б) в) г)

25. Операции, которые можно выполнить для матриц

а) B · A б) B · A^T в) B^T · A г) B^T · A^T д) A · B е) A^T · B ж) A · B^T

26. Произведение A · B матриц

а) б) в) г) д)

27. Произведение A · B матриц

а) б) в) г) д)

28. Произведение A · B матриц

а) б) в) г) д)

29. Произведение A · B матриц

а) б) в) г) д)

30. Определитель матрицы B, где  равен

Введите ответ целым числом:                                 

31. Алгебраическое дополнение A₁₂ элемента a₁₂ матрицы равно

а) б) в) г)

32. Если матрицы  , то определитель матрицы A·B равен:

а) 0 б) -16 в) 32 г) 2 д) -32

33. Разложение определителя   по второму столбцу имеет вид:

а) –4a + b – 2c б) –a + 2b + 3c в) верный ответ отсутствует г) 4a + b + 2c д) 4a – b + 2c

34. При решении системы   по правилу Крамера

а)

б)

в)

г)

д)

35. Главная диагональ матрицы А= состоит из элементов

а) 1, -2, 5 б) -4, -2, 8

36. Результат умножения матрицы А= на число 2

а) б) в) г)

37. Транспонированной матрицей к матрице А=

а) б) в)

38. Определитель матрицы А=

а) 19 б) -8 в) 8 г) -17