Примеры систем управления и их математические модели
Реальные системы управления, как правило, достаточно сложны. Приведенные ниже примеры используются для иллюстрации основных задач теории управления. Поэтому рассматриваемые системы управления отличаются максимальной простотой и наглядностью.
Пример 1.1. Предположим, что некоторая
материальная точка
массы
может двигаться только по прямой линии,
вдоль которой на точку действует сила
.
Положение точки
будем характеризовать координатой
(рис. 1.1).
Пусть известно, что в начальный момент
времени
выполнены условия
(1.2)
и в течение всего движения этой точки сила удовлетворяет ограничению
.
(1.3)
Можно поставить задачу: определить силу
,
под действием которой точка
движется так, что из заданного состояния
(1.2) к моменту времени
перемещается в другое заданное состояние,
например,
(1.4)
за минимально возможное время
.
(1.5)
Согласно второму закону Ньютона уравнение движения точки можно представить в следующем виде:
.
(1.6)
Точку
,
движение которой может изменяться за
счет выбора внешней силы
,
будем рассматривать как пример управляемой
системы. Величина
является управляющим воздействием или
управлением.
Поставленная задача называется задачей
о быстродействии. При решении задач
управления пользуются фазовыми
координатами и фазовым пространством.
В данном случае фазовыми координатами
являются две переменные
и
,
связанные с переменной
равенствами
.
Фазовые координаты дают возможность записать граничные условия (1.2) и (1.4) в виде
(1.7)
а уравнение (1.6) в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка
(1.8)
Точка
с координатами
на плоскости
является фазовой точкой системы (рис.
1.2). С изменением времени
точка
изменяет свое положение и образует
фазовую траекторию системы.
Пример 1.2.
Рассмотрим материальную точку массы
,
движущуюся в вертикальной плоскости
в поле силы тяжести. Предположим, что в
качестве управляющего воздействия к
точке
приложена реактивная сила
,
возникающая в результате отделения от
нее частиц с элементарной массой
.
Тогда масса точки является величиной
переменной
и ее движение можно описать векторным
уравнением Мещерского [7, с.25], которое
соответствует второму закону Ньютона
для точки с переменной массой
,
(1.9)
где
–
вектор абсолютной скорости точки
,
,
–
неизменная часть массы точки,
–
реактивная масса точки;
,
– вектор относительной скорости
отделяющейся частицы;
–
вес.
Проектируя уравнение (1.9) на горизонтальную и вертикальную оси координат, получим следующие уравнения движения:
(1.10)
где
и
–
проекции вектора
на оси
и
.
Допуская, что абсолютная величина
вектора
задана и, вводя соответствующие
обозначения, запишем систему уравнений
(1.10) в нормальной форме
(1.11)
где
,
,
–
угол между вектором
и осью
(рис.1.3). В матричной форме система
(1.11) запишется так:
,
(1.12)
где
.
