1. Вычисление вероятностей событий с помощью формул

комбинаторики

Задача 1.1 Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

Решение – Число всех равновозможных случаев распределения 5 билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, т.е. . Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно . Каждая такая тройка может сочетаться с любой парой из 10 девушек, а число таких пар равно . Следовательно, число групп по 5 студентов, в каждую из которых будут входить трое юношей и две девушки, равно произведению . Это произведение равно числу благоприятствующих случаев распределения пяти билетов среди студентов группы. В соответствии с формулой Р(А) = m/n, находим искомую вероятность:

Задача 1.2 В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут:

а) на одном и том же этаже;

б) на шестом этаже;

в) на разных этажах.

Решение – а) Пусть событие А заключается в том, что все пассажиры выйдут на одном и том же этаже. По определению вероятности Р(А) = m/n.

Число m всех благоприятствующих данному событию исходов равно 8, так как все пассажиры могут выйти на любом из этажей со второго по девятый. Поскольку каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей (этажи могут быть разными или одинаковыми), то число n всех равновозможных несовместных исходов равно .

Тогда .

б) Пусть событие В заключается в том, что все пассажиры выйдут на шестом этаже, тогда m = 1, а .

в) Пусть событие С заключается в том, что все пассажиры выйдут на разных этажах, тогда Следовательно,

2. Задачи на вычисление вероятностей

Задача 2.1 В урне находятся 5 красных и 7 синих шаров. Найдите вероятность того, что два наугад вытянутых из урны шара окажутся:

а) красными;

б) разных цветов.

Решение – Пусть событие А состоит в том, что первый вытянутый из урны шар будет красным, а событие В состоит в том, что второй вытянутый из урны шар будет красным.

Так как в урне всего 12 шаров, в том числе 5 красных, то вероятность события А равна Р(А) = 5/12.

Теперь в урне осталось 11 шаров, в том числе 4 красных, тогда вероятность того, что и второй вытянутый шар будет красным равна Р(В) = 4/11.

Так как события А и В независимые, то искомая вероятность определится как Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 5/12 ∙ 4/11 = 5/33.

Найдем вероятность того, что первый вытянутый шар будет красным (событие А), а второй – синим (событие В):

Р(АВ) = 5/12 ∙ 7/11 = 35/132.

Теперь найдем вероятность того, что первый вытянутый шар будет синим (событие С), а второй – красным (событие Д):

Р(СД) = 7/12 ∙ 5/11 = 35/132.

Тогда искомая вероятность равна:

Р(АВ + СД) = Р(АВ) + Р(СД) = 35/132 + 35/132 = 35/66.

Задача 2.2 Стрелок при единичном выстреле поражает цель с вероятностью 0,8. Найдите вероятность того, что, сделав три выстрела, стрелок:

а) не попадет в цель ни разу;

б) попадет в цель ровно один раз;

в) попадет в цель хотя бы один раз.

Решение – а) Вероятность непопадания в цель стрелком составляет 1 – 0,8 = 0,2. Событие, состоящее в том, что стрелок из трех выстрелов ни разу не попал в цель, можно рассматривать как произведение трех событий, которые заключаются в том, что стрелок не попал в цель при единичном выстреле. Тогда Р = 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008.

б) Найдем вероятность того, что стрелок первый раз попал в цель, а второй и третий – нет: Р(А) = 0,8∙0,2∙0,2 = 0,032.

Аналогично найдем вероятность попадания стрелком в цель только при втором выстреле (событие В) и только при третьем выстреле (событие С):

Р(В) = 0,2∙0,8∙0,2 = 0,032, Р(С) = 0,2∙0,2∙0,8 = 0,032.

Вероятность попадания стрелком в цель только один раз определится как сумма найденных вероятностей:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0,032 + 0,032 + 0,032 = 0,096.

в) Событие “попадет в цель хотя бы один раз” можно рассматривать как сумму событий “попадет в цель один раз” (событие А), “попадет в цель два раза” (событие В) и “попадет в цель три раза” (событие С). Вероятность первого из этих событий вычислена в пункте “б” и составляет Р(А) = 0,096. По аналогии найдем вероятности двух других событий:

Р(В) = 0,8∙0,2∙0,2 + 0,2∙0,8∙0,2 + 0,2∙0,2∙0,8 = 0,128 + 0,128 + 0,128 = 0,384;

Р(С) = 0,8∙0,8∙0,8 = 0,512.

Заметим, что данный результат можно было получить и другим способом. Для события “попадет в цель хотя бы один раз” противоположным является событие “не попадет в цель ни разу”, вероятность которого найдена в пункте “a”. Учитывая, что сумма вероятностей противоположных событий равна 1, имеем: P = 1- 0,008 = 0,992.

Задача 2.3 При сборке изделия на конвейере используются детали, изготавливаемые тремя поставщиками. Вероятность появления бракованной детали в партии, поступившей от первого поставщика, составляет 0,005, от второго поставщика – 0,008, от третьего поставщика – 0,003. От первого поставщика поступила партия в 5000 деталей, от второго – 4000, от третьего – 1000 деталей.

а) Найдите вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь окажется бракованной.

б) Найдите вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь изготовлена вторым поставщиком при условии, что она оказалась бракованной.

Решение – а) Введем следующие обозначения для рассматриваемых в задаче событий: событие A – наугад взятая деталь оказалась бракованной; событие H₁ – наугад взятая деталь изготовлена первым поставщиком; событие H₂ – наугад взятая деталь изготовлена вторым поставщиком; событие H₃ – наугад взятая деталь изготовлена третьим поставщиком. Из условия задачи несложно найти вероятности событий H₁, H₂ и H₃:

P(H₁) = 5000/(5000 + 4000 +1000) = 0,5;

Р(Н₂) = 4000/(5000 + 4000 +1000) = 0,4;

Р(Н₃) = 1000/(5000 + 4000 + 1000) = 0,1.

Рассмотрим теперь событие А/Н, состоящее в том, что наугад взятая с конвейера деталь – бракованная, при условии, что данная деталь оказалась изготовленной первым поставщиком. Согласно условию задачи, вероятность этого события составляет 0,005, т.е. P(A/ H₁) = 0,005. Аналогично P(A/H₂) = 0,008, P(A/H₃) = 0,003.

Для вычисления вероятности события A можно воспользоваться формулой полной вероятности:

P(A) = P(A/H₁)P(H₁)+P(A/H₂)P(H₂)+P(A/H3)P(H₃) = 0,005∙0,5 + 0,008∙0,4 + 0,003∙0,1 = 0,006;

б) По условию задачи требуется найти вероятность p(H₂/A). Воспользуемся для этого формулой Бейеса:

P(H₂/A) = P(A/H₂)P(H₂) / Р(А) = 0,008∙0,4 / 0,006 = 0,0032/0,006 = 8/15.

Задача 2.4 Всхожесть семян данного растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение – Искомые вероятности найдем с помощью формулы Бернулли

В первом случае n = 4, m = 3, p = 0,9, q = 1 – p = 0,1. Поэтому .

Во втором случае событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей имеем: . Поскольку , то

Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.