12. Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов  ,  ,  ,  ,  ,   отличен от нуля.

Цилиндрические поверхностиПоверхность   называется цилиндрической поверхностью с образующей  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей  , целиком принадлежит поверхности  .

Поверхность   называется конической поверхностью с вершиной в точке  , если для любой точки   этой поверхности прямая, проходящая через   и  , целиком принадлежит этой поверхности.

Эллиптический параболоидУравнение эллиптического параболоида имеет вид

Если  , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением

параболы, параметр которой  , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью   является эллипсом.Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью   или   является параболой.

Гиперболический параболоид

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью   является гиперболой.Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью   или   является параболой.Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

13. Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где переменная х- независимая переменная или аргумент и переменная у- зависимая переменная

Способы задания функций

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством. Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Основные свойства функции.

Функция называется четной, если1)область определения функции симметрична относительно нуля2) для любого х из области определения f(-x) = f(x)3)График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если1)область определения функции симметрична относительно нуля2)для любого х из области определения f(-x) = –f(x)3)График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

Монотонность (возрастание, убывание)

Экстремумы. Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax).

Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).

Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Обратная функция функции обычно обозначается, иногда также используется обозначение .

14.

Графики элементарных функций

Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0 Гипербола - график функции  . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у - - х(а < 0). Экспонента (показательная функция по основанию е) у = еx. (Другое написание у = ехр(х)). Асимптота - ось абсцисс. Логарифмическая функция y = logax (a > 0) у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π у = а•sin(ωx+φ) - функция гармонических колебаний. Обозначения: а - амплитуда, ω - частота (ω = 2π/Т), φ - фаза (сдвиг). Косинусоида у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на  ) Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х =  (2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты в этих точках.

15. Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

1)для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;2)это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;3)для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Подпоследовательностью   называется числовая последовательность, которая составлена из членов последовательности   и в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности  .

Число   называется пределом числовой последовательности  , если последовательность   является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно   или  .

свойстваАддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.